CAPÍTULO III

CAMPO VECTORIAL

§ 10. LÍNEAS VECTORIALES. ECUACIONES DIFERENCIALES DE LAS LÍNEAS VECTORIALES

Definición 1. Si en cada punto M M MMM del espacio, o en una parte del mismo, está determinada la magnitud vectorial a = a ( M ) a = a ( M ) a=a(M)\mathbf{a} = \mathbf{a}(M)a=a(M), se dice que es dado un campo vectorial.
Si en el espacio está introducido el sistema de coordenadas cartesianas, entonces la proyección del campo vectorial a = a ( M ) a = a ( M ) a=a(M)\mathbf{a} = \mathbf{a}(M)a=a(M) es igual a la de las tres funciones escalares del punto P ( M ) P ( M ) P(M)P(M)P(M), Q ( M ) Q ( M ) Q(M)Q(M)Q(M), R ( M ) R ( M ) R(M)R(M)R(M), así que
a ( M ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k . a ( M ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k . a(M)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k.\mathbf{a}(M) = P(x, y, z) \mathbf{i} + Q(x, y, z) \mathbf{j} + R(x, y, z) \mathbf{k}.a(M)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k.
Definición 2. Línea vectorial del campo vectorial a a a\mathbf{a}a se llama la curva en cada punto M M MMM de la cual el vector a a a\mathbf{a}a está dirigido tangente a esta curva.
Sea el campo vectorial determinado por el vector
a = P i + Q j + R k , a = P i + Q j + R k , a=Pi+Qj+Rk,\mathbf{a} = P \mathbf{i} + Q \mathbf{j} + R \mathbf{k},a=Pi+Qj+Rk,
donde
P = P ( x , y , z ) , Q = Q ( x , y , z ) , R = R ( x , y , z ) , P = P ( x , y , z ) , Q = Q ( x , y , z ) , R = R ( x , y , z ) , P=P(x,y,z),quad Q=Q(x,y,z),quad R=R(x,y,z),P = P(x, y, z), \quad Q = Q(x, y, z), \quad R = R(x, y, z),P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z),
son funciones continuas de x , y , z x , y , z x,y,zx, y, zx,y,z que tienen derivadas parciales limitadas de primer orden.
Entonces, las ecuaciones diferenciales de las líneas vectoriales tienen la forma
(1) d x P = d y Q = d z R . (1) d x P = d y Q = d z R . {:(1)(dx)/(P)=(dy)/(Q)=(dz)/(R).:}\frac{dx}{P} = \frac{dy}{Q} = \frac{dz}{R}. \tag{1}(1)dxP=dyQ=dzR.
La integración del sistema de dos ecuaciones diferenciales (1) da un sistema de dos ecuaciones finitas
φ 1 ( x , y , z ) = C 1 , φ 2 ( x , y , z ) = C 2 , φ 1 ( x , y , z ) = C 1 , φ 2 ( x , y , z ) = C 2 , varphi_(1)(x,y,z)=C_(1),quadvarphi_(2)(x,y,z)=C_(2),\varphi_1(x, y, z) = C_1, \quad \varphi_2(x, y, z) = C_2,φ1(x,y,z)=C1,φ2(x,y,z)=C2,
las cuales, consideradas en conjunto, determinan la familia paramétrica de las líneas vectoriales
(2) φ 1 ( x , y , z ) = C 1 , φ 2 ( x , y , z ) = C 2 . (2) φ 1 ( x , y , z ) = C 1 , φ 2 ( x , y , z ) = C 2 . {:(2)varphi_(1)(x","y","z)=C_(1)","varphi_(2)(x","y","z)=C_(2).:}\varphi_1(x, y, z) = C_1, \\ \varphi_2(x, y, z) = C_2. \tag{2}(2)φ1(x,y,z)=C1,φ2(x,y,z)=C2.
Si en algún dominio G G GGG para el sistema (1) están cumplidas las condiciones del teorema acerca de la existencia y la unicidad de la solución de una ecuación diferencial, entonces por cada punto M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∈ G M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∈ G M_(0)(x_(0),y_(0),z_(0))in GM_0(x_0, y_0, z_0) \in GM0(x0,y0,z0)∈G pasa la única línea vectorial
φ 1 ( x , y , z ) = φ 1 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , φ 2 ( x , y , z ) = φ 2 ( x 0 , y 0 , z 0 ) . φ 1 ( x , y , z ) = φ 1 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , φ 2 ( x , y , z ) = φ 2 ( x 0 , y 0 , z 0 ) . varphi_(1)(x,y,z)=varphi_(1)(x_(0),y_(0),z_(0)),varphi_(2)(x,y,z)=varphi_(2)(x_(0),y_(0),z_(0)).\varphi_1(x, y, z) = \varphi_1(x_0, y_0, z_0), \\ \varphi_2(x, y, z) = \varphi_2(x_0, y_0, z_0).φ1(x,y,z)=φ1(x0,y0,z0),φ2(x,y,z)=φ2(x0,y0,z0).
Ejemplo 1. Hallar las líneas vectoriales del campo vectorial a = [ c , r ] a = [ c , r ] a=[c,r]\mathbf{a} = [\mathbf{c}, \mathbf{r}]a=[c,r], donde c c c\mathbf{c}c es un vector constante.
Solución. Tenemos
c = c 1 i + c 2 j + c 3 k , r = x i + y j + z k , c = c 1 i + c 2 j + c 3 k , r = x i + y j + z k , c=c_(1)i+c_(2)j+c_(3)k,quadr=xi+yj+zk,\mathbf{c} = c_1 \mathbf{i} + c_2 \mathbf{j} + c_3 \mathbf{k}, \quad \mathbf{r} = x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k},c=c1i+c2j+c3k,r=xi+yj+zk,
así que
a = [ c , r ] = | i j k c 1 c 2 c 3 x y z | = ( c 2 z − c 3 y ) i + ( c 3 x − c 1 z ) j + ( c 1 y − c 2 x ) k . a = [ c , r ] = i j k c 1 c 2 c 3 x y z = ( c 2 z − c 3 y ) i + ( c 3 x − c 1 z ) j + ( c 1 y − c 2 x ) k . a=[c,r]=|[i,j,k],[c_(1),c_(2),c_(3)],[x,y,z]|=(c_(2)z-c_(3)y)i+(c_(3)x-c_(1)z)j+(c_(1)y-c_(2)x)k.\mathbf{a} = [\mathbf{c}, \mathbf{r}] = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ x & y & z \end{vmatrix} = (c_2 z - c_3 y) \mathbf{i} + (c_3 x - c_1 z) \mathbf{j} + (c_1 y - c_2 x) \mathbf{k}.a=[c,r]=|ijkc1c2c3xyz|=(c2z−c3y)i+(c3x−c1z)j+(c1y−c2x)k.
Las ecuaciones diferenciales de las líneas vectoriales son
(3) d x c 2 z − c 3 y = d y c 3 x − c 1 z = d z c 1 y − c 2 x . (3) d x c 2 z − c 3 y = d y c 3 x − c 1 z = d z c 1 y − c 2 x . {:(3)(dx)/(c_(2)z-c_(3)y)=(dy)/(c_(3)x-c_(1)z)=(dz)/(c_(1)y-c_(2)x).:}\frac{dx}{c_2 z - c_3 y} = \frac{dy}{c_3 x - c_1 z} = \frac{dz}{c_1 y - c_2 x}. \tag{3}(3)dxc2z−c3y=dyc3x−c1z=dzc1y−c2x.
Multiplicamos el numerador y denominador de la primera fracción por x x xxx, de la segunda por y y yyy, de la tercera por z z zzz y las sumamos miembro a miembro. Utilizando la propiedad de las proporciones obtenemos
d x c 2 z − c 3 y = d y c 3 x − c 1 z = d z c 1 y − c 2 x = x d x + y d y + z d z 0 . d x c 2 z − c 3 y = d y c 3 x − c 1 z = d z c 1 y − c 2 x = x d x + y d y + z d z 0 . (dx)/(c_(2)z-c_(3)y)=(dy)/(c_(3)x-c_(1)z)=(dz)/(c_(1)y-c_(2)x)=(xdx+ydy+zdz)/(0).\frac{dx}{c_2 z - c_3 y} = \frac{dy}{c_3 x - c_1 z} = \frac{dz}{c_1 y - c_2 x} = \frac{x \, dx + y \, dy + z \, dz}{0}.dxc2z−c3y=dyc3x−c1z=dzc1y−c2x=xdx+ydy+zdz0.
De aquí
x d x + y d y + z d z = 0 , x d x + y d y + z d z = 0 , xdx+ydy+zdz=0,x \, dx + y \, dy + z \, dz = 0,xdx+ydy+zdz=0,
y, en consecuencia
x 2 + y 2 + z 2 = A 1 , A 1 = const > 0. x 2 + y 2 + z 2 = A 1 , A 1 = const > 0. x^(2)+y^(2)+z^(2)=A_(1),quadA_(1)="const" > 0.x^2 + y^2 + z^2 = A_1, \quad A_1 = \text{const} > 0.x2+y2+z2=A1,A1=const>0.
Ahora multiplicamos el numerador y denominador de la primera fracción (3) por c 1 c 1 c_(1)c_1c1, de la segunda por c 2 c 2 c_(2)c_2c2, de la tercera por c 3 c 3 c_(3)c_3c3 y después de sumar miembro a miembro obtenemos
d x c 2 z − c 3 y = d y c 3 x − c 1 z = d z c 1 y − c 2 x = c 1 d x + c 2 d y + c 3 d z 0 , d x c 2 z − c 3 y = d y c 3 x − c 1 z = d z c 1 y − c 2 x = c 1 d x + c 2 d y + c 3 d z 0 , (dx)/(c_(2)z-c_(3)y)=(dy)/(c_(3)x-c_(1)z)=(dz)/(c_(1)y-c_(2)x)=(c_(1)dx+c_(2)dy+c_(3)dz)/(0),\frac{dx}{c_2 z - c_3 y} = \frac{dy}{c_3 x - c_1 z} = \frac{dz}{c_1 y - c_2 x} = \frac{c_1 \, dx + c_2 \, dy + c_3 \, dz}{0},dxc2z−c3y=dyc3x−c1z=dzc1y−c2x=c1dx+c2dy+c3dz0,
de donde
c 1 d x + c 2 d y + c 3 d z = 0 c 1 d x + c 2 d y + c 3 d z = 0 c_(1)dx+c_(2)dy+c_(3)dz=0c_1 \, dx + c_2 \, dy + c_3 \, dz = 0c1dx+c2dy+c3dz=0
y, por consiguiente,
c 1 x + c 2 y + c 3 z = A 2 , A 2 = const . c 1 x + c 2 y + c 3 z = A 2 , A 2 = const . c_(1)x+c_(2)y+c_(3)z=A_(2),quadA_(2)="const".c_1 x + c_2 y + c_3 z = A_2, \quad A_2 = \text{const}.c1x+c2y+c3z=A2,A2=const.
Las ecuaciones que buscamos de las líneas vectoriales son
x 2 + y 2 + z 2 = A 1 , c 1 x + c 2 y + c 3 z = A 2 . x 2 + y 2 + z 2 = A 1 , c 1 x + c 2 y + c 3 z = A 2 . x^(2)+y^(2)+z^(2)=A_(1),c_(1)x+c_(2)y+c_(3)z=A_(2).x^2 + y^2 + z^2 = A_1, \\ c_1 x + c_2 y + c_3 z = A_2.x2+y2+z2=A1,c1x+c2y+c3z=A2.
Estas ecuaciones muestran que las líneas vectoriales se obtienen como resultado de la intersección de esferas que tienen un centro común en el origen de las coordenadas con los planos perpendiculares al vector c = c 1 i + c 2 j + c 3 k c = c 1 i + c 2 j + c 3 k c=c_(1)i+c_(2)j+c_(3)k\mathbf{c} = c_1 \mathbf{i} + c_2 \mathbf{j} + c_3 \mathbf{k}c=c1i+c2j+c3k. De aquí se deduce que las líneas vectoriales son circunferencias cuyos centros se encuentran en la recta que pasa por el origen de las coordenadas en dirección del vector c c c\mathbf{c}c. Los planos de las circunferencias son perpendiculares a la línea recta indicada (fig. 14).
Ejemplo 2. Hallar la línea vectorial del campo
a = − y i + x j + b k , a = − y i + x j + b k , a=-yi+xj+bk,\mathbf{a} = -y \mathbf{i} + x \mathbf{j} + b \mathbf{k},a=−yi+xj+bk,
que pasa por el punto ( 1 , 0 , 0 ) ( 1 , 0 , 0 ) (1,0,0)(1, 0, 0)(1,0,0).
Solución. Las ecuaciones diferenciales de las líneas vectoriales son
d x − y = d y x = d z b . d x − y = d y x = d z b . (dx)/(-y)=(dy)/(x)=(dz)/(b).\frac{dx}{-y} = \frac{dy}{x} = \frac{dz}{b}.dx−y=dyx=dzb.
De aquí hallamos
x 2 + y 2 = C 1 , C 1 > 0 , x 2 + y 2 = C 1 , C 1 > 0 , x^(2)+y^(2)=C_(1),quadC_(1) > 0,x^2 + y^2 = C_1, \quad C_1 > 0,x2+y2=C1,C1>0,
o, si introducimos el parámetro t t ttt, obtendremos
x = C 1 cos ⁡ t , y = C 1 sin ⁡ t . x = C 1 cos ⁡ t , y = C 1 sin ⁡ t . x=sqrt(C_(1))cos t,quad y=sqrt(C_(1))sin t.x = \sqrt{C_1} \cos t, \quad y = \sqrt{C_1} \sin t.x=C1cos⁡t,y=C1sin⁡t.
En este caso la ecuación
d y x = d z b d y x = d z b (dy)/(x)=(dz)/(b)\frac{dy}{x} = \frac{dz}{b}dyx=dzb
tiene la forma
C 1 cos ⁡ t d t C 1 cos ⁡ t = d z b o d z = b d t , C 1 cos ⁡ t d t C 1 cos ⁡ t = d z b o d z = b d t , (sqrt(C_(1))cos tdt)/(sqrt(C_(1))cos t)=(dz)/(b)quad"o"quad dz=bdt,\frac{\sqrt{C_1} \cos t \, dt}{\sqrt{C_1} \cos t} = \frac{dz}{b} \quad \text{o} \quad dz = b \, dt,C1cos⁡tdtC1cos⁡t=dzbodz=bdt,
de donde hallamos
z = b t + C 2 . z = b t + C 2 . z=bt+C_(2).z = b t + C_2.z=bt+C2.
Y bien, las ecuaciones paramétricas de las líneas vectoriales serán
(4) { x = C 1 cos ⁡ t , y = C 1 sin ⁡ t , z = b t + C 2 . (4) x = C 1 cos ⁡ t , y = C 1 sin ⁡ t , z = b t + C 2 . {:(4){[x=sqrt(C_(1))cos t","],[y=sqrt(C_(1))sin t","],[z=bt+C_(2).]:}:}\begin{cases} x = \sqrt{C_1} \cos t, \\ y = \sqrt{C_1} \sin t, \\ z = b t + C_2. \end{cases} \tag{4}(4){x=C1cos⁡t,y=C1sin⁡t,z=bt+C2.
Si la línea vectorial se hace pasar a través del punto ( 1 , 0 , 0 ) ( 1 , 0 , 0 ) (1,0,0)(1, 0, 0)(1,0,0), obtendremos
1 = C 1 cos ⁡ t , 0 = C 1 sin ⁡ t , 0 = b t + C 2 . 1 = C 1 cos ⁡ t , 0 = C 1 sin ⁡ t , 0 = b t + C 2 . 1=sqrt(C_(1))cos t,0=sqrt(C_(1))sin t,0=bt+C_(2).1 = \sqrt{C_1} \cos t, \\ 0 = \sqrt{C_1} \sin t, \\ 0 = b t + C_2.1=C1cos⁡t,0=C1sin⁡t,0=bt+C2.
Las dos primeras ecuaciones de este sistema se satisfacen para t = 2 k π , k = 0 , ± 1 t = 2 k π , k = 0 , ± 1 t=2k pi,k=0,+-1t = 2k\pi, k = 0, \pm 1t=2kπ,k=0,±1, y también cuando C 1 = 1 C 1 = 1 C_(1)=1C_1 = 1C1=1. Al tomar k = 0 k = 0 k=0k = 0k=0, obtenemos t = 0 t = 0 t=0t = 0t=0 y la última ecuación del sistema da C 2 = 0 C 2 = 0 C_(2)=0C_2 = 0C2=0. Por tanto la línea vectorial buscada que pasa a través del punto ( 1 , 0 , 0 ) ( 1 , 0 , 0 ) (1,0,0)(1, 0, 0)(1,0,0), será
{ x = cos ⁡ t , y = sin ⁡ t , z = b t . x = cos ⁡ t , y = sin ⁡ t , z = b t . {[x=cos t","],[y=sin t","],[z=bt.]:}\begin{cases} x = \cos t, \\ y = \sin t, \\ z = b t. \end{cases}{x=cos⁡t,y=sin⁡t,z=bt.
Esto es la línea helicoidal.
Hallar las líneas vectoriales de los campos vectoriales siguientes:
  1. r = x i + y j + z k r = x i + y j + z k r=xi+yj+zk\mathbf{r} = x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k}r=xi+yj+zk.
  2. a = a 1 i + a 2 j + a 3 k a = a 1 i + a 2 j + a 3 k a=a_(1)i+a_(2)j+a_(3)k\mathbf{a} = a_1 \mathbf{i} + a_2 \mathbf{j} + a_3 \mathbf{k}a=a1i+a2j+a3k, donde a 1 , a 2 , a 3 a 1 , a 2 , a 3 a_(1),a_(2),a_(3)a_1, a_2, a_3a1,a2,a3 son constantes.
  3. a = ( z − y ) i + ( x − z ) j + ( y − x ) k a = ( z − y ) i + ( x − z ) j + ( y − x ) k a=(z-y)i+(x-z)j+(y-x)k\mathbf{a} = (z - y) \mathbf{i} + (x - z) \mathbf{j} + (y - x) \mathbf{k}a=(z−y)i+(x−z)j+(y−x)k.
  4. Hallar la línea vectorial del campo
a = x 2 i − y 3 j + z 2 k a = x 2 i − y 3 j + z 2 k a=x^(2)i-y^(3)j+z^(2)k\mathbf{a} = x^2 \mathbf{i} - y^3 \mathbf{j} + z^2 \mathbf{k}a=x2i−y3j+z2k
que pasa por el punto ( 1 2 , − 1 2 , 1 ) 1 2 , − 1 2 , 1 ((1)/(2),-(1)/(2),1)\left( \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1 \right)(12,−12,1).
El campo vectorial se llama plano si todos los vectores a a a\mathbf{a}a se encuentran en los planos paralelos y el campo es el mismo en cada uno de estos planos. Si en alguno de estos planos introducimos el sistema de coordenadas cartesianas x O y x O y xOyxOyxOy, entonces los vectores del campo no tendrán componentes en el eje O z O z OzOzOz y las coordenadas del vector no van a depender de z z zzz, es decir
a = P ( x , y ) i + Q ( x , y ) j . a = P ( x , y ) i + Q ( x , y ) j . a=P(x,y)i+Q(x,y)j.\mathbf{a} = P(x, y) \mathbf{i} + Q(x, y) \mathbf{j}.a=P(x,y)i+Q(x,y)j.
Las ecuaciones diferenciales de las líneas vectoriales del campo plano tendrán la forma
d x P ( x , y ) = d y Q ( x , y ) = d z 0 d x P ( x , y ) = d y Q ( x , y ) = d z 0 (dx)/(P(x,y))=(dy)/(Q(x,y))=(dz)/(0)\frac{dx}{P(x, y)} = \frac{dy}{Q(x, y)} = \frac{dz}{0}dxP(x,y)=dyQ(x,y)=dz0
o
d y d x = Q ( x , y ) P ( x , y ) , z = const . d y d x = Q ( x , y ) P ( x , y ) , z = const . (dy)/(dx)=(Q(x,y))/(P(x,y)),quad z="const".\frac{dy}{dx} = \frac{Q(x, y)}{P(x, y)}, \quad z = \text{const}.dydx=Q(x,y)P(x,y),z=const.
De aquí se ve que las líneas vectoriales del campo plano son las curvas planas que se encuentran en los planos paralelos al x O y x O y xOyxOyxOy.
Ejemplo 3. Hallar las líneas vectoriales del campo magnético de un conductor infinito de corriente eléctrica.
Solución. Supongamos que el conductor está dirigido por el eje O z O z OzOzOz y en la misma dirección pasa la corriente I I III. El vector de la intensidad H H H\mathbf{H}H del campo magnético que engendra la corriente es igual a
(5) H = 2 ρ 2 [ I , r ] , (5) H = 2 ρ 2 [ I , r ] , {:(5)H=(2)/(rho^(2))[I","r]",":}\mathbf{H} = \frac{2}{\rho^2} [\mathbf{I}, \mathbf{r}], \tag{5}(5)H=2ρ2[I,r],
donde I = I ⋅ k I = I ⋅ k I=I*k\mathbf{I} = I \cdot \mathbf{k}I=I⋅k es el vector de la corriente, r r r\mathbf{r}r es el radio vector del punto M ( x , y , z ) M ( x , y , z ) M(x,y,z)M(x, y, z)M(x,y,z), ρ ρ rho\rhoρ es la distancia desde el eje del conductor hasta el punto M M MMM. Abriendo los paréntesis del producto vectorial (5), obtendremos
H = − 2 I y ρ 2 i + 2 I x ρ 2 j . H = − 2 I y ρ 2 i + 2 I x ρ 2 j . H=-(2Iy)/(rho^(2))i+(2Ix)/(rho^(2))j.\mathbf{H} = -\frac{2Iy}{\rho^2} \mathbf{i} + \frac{2Ix}{\rho^2} \mathbf{j}.H=−2Iyρ2i+2Ixρ2j.
Las ecuaciones diferenciales de las líneas vectoriales son:
d x − y = d y x = d z 0 , d x − y = d y x = d z 0 , (dx)/(-y)=(dy)/(x)=(dz)/(0),\frac{dx}{-y} = \frac{dy}{x} = \frac{dz}{0},dx−y=dyx=dz0,
de donde
x 2 + y 2 = R 2 , z = C , x 2 + y 2 = R 2 , z = C , x^(2)+y^(2)=R^(2),quad z=C,x^2 + y^2 = R^2, \quad z = C,x2+y2=R2,z=C,
es decir, las líneas vectoriales son las circunferencias con los centros en el eje O z O z OzOzOz (fig. 15).
Hallar las líneas vectoriales de los siguientes campos vectoriales planos:
  1. a = x i + 2 y j a = x i + 2 y j a=xi+2yj\mathbf{a} = x \mathbf{i} + 2y \mathbf{j}a=xi+2yj.
  2. a = x i + z k a = x i + z k a=xi+zk\mathbf{a} = x \mathbf{i} + z \mathbf{k}a=xi+zk.
  3. a = x i − y j a = x i − y j a=xi-yj\mathbf{a} = x \mathbf{i} - y \mathbf{j}a=xi−yj.
  4. a = 2 x j + 4 y k a = 2 x j + 4 y k a=2xj+4yk\mathbf{a} = 2x \mathbf{j} + 4y \mathbf{k}a=2xj+4yk.
  5. a = x 2 i + y 2 j a = x 2 i + y 2 j a=x^(2)i+y^(2)j\mathbf{a} = x^2 \mathbf{i} + y^2 \mathbf{j}a=x2i+y2j.
  6. a = z j − y k a = z j − y k a=zj-yk\mathbf{a} = z \mathbf{j} - y \mathbf{k}a=zj−yk.
Las ecuaciones diferenciales de las líneas vectoriales
d x P = d y Q = d z R d x P = d y Q = d z R (dx)/(P)=(dy)/(Q)=(dz)/(R)\frac{dx}{P} = \frac{dy}{Q} = \frac{dz}{R}dxP=dyQ=dzR
pueden ser escritas así:
d x d t = P , d y d t = Q , d z d t = R d x d t = P , d y d t = Q , d z d t = R (dx)/(dt)=P,quad(dy)/(dt)=Q,quad(dz)/(dt)=R\frac{dx}{dt} = P, \quad \frac{dy}{dt} = Q, \quad \frac{dz}{dt} = Rdxdt=P,dydt=Q,dzdt=R
o en la forma vectorial:
(6) d r d t = a ( M ) . (6) d r d t = a ( M ) . {:(6)(dr)/(dt)=a(M).:}\frac{d\mathbf{r}}{dt} = \mathbf{a}(M). \tag{6}(6)drdt=a(M).
Esta forma de las ecuaciones de las líneas vectoriales resulta muy cómoda para la solución de una serie de problemas.
Ejemplo 4. Hallar las líneas vectoriales del campo a = [ c , r ] a = [ c , r ] a=[c,r]\mathbf{a} = [\mathbf{c}, \mathbf{r}]a=[c,r], donde c c c\mathbf{c}c es un vector constante.
Solución. Utilizando la proporción (6) obtendremos
(7) d r d t = [ c , r ] . (7) d r d t = [ c , r ] . {:(7)(dr)/(dt)=[c","r].:}\frac{d\mathbf{r}}{dt} = [\mathbf{c}, \mathbf{r}]. \tag{7}(7)drdt=[c,r].
Multiplicando ambos miembros (7) escalarmente por c c c\mathbf{c}c y utilizando las propiedades del producto mixto hallamos
(8) ( c , d r d t ) = d d t ( c , r ) = 0. (8) c , d r d t = d d t ( c , r ) = 0. {:(8)(c,(dr)/(dt))=(d)/(dt)(c","r)=0.:}\left( \mathbf{c}, \frac{d\mathbf{r}}{dt} \right) = \frac{d}{dt} (\mathbf{c}, \mathbf{r}) = 0. \tag{8}(8)(c,drdt)=ddt(c,r)=0.
Análogamente, multiplicando ambos miembros (7) escalarmente por r r r\mathbf{r}r, obtendremos
(9) ( r , d r d t ) = d d t ( r , r ) = 0. (9) r , d r d t = d d t ( r , r ) = 0. {:(9)(r,(dr)/(dt))=(d)/(dt)(r","r)=0.:}\left( \mathbf{r}, \frac{d\mathbf{r}}{dt} \right) = \frac{d}{dt} (\mathbf{r}, \mathbf{r}) = 0. \tag{9}(9)(r,drdt)=ddt(r,r)=0.
De la ecuación (8) se deduce que
( c , r ) = const , ( c , r ) = const , (c,r)="const",(\mathbf{c}, \mathbf{r}) = \text{const},(c,r)=const,
y de la ecuación (9) sigue que
( r , r ) = const . ( r , r ) = const . (r,r)="const".(\mathbf{r}, \mathbf{r}) = \text{const}.(r,r)=const.
Las líneas vectoriales son líneas de intersección de los planos ( c , r ) = const ( c , r ) = const (c,r)="const"(\mathbf{c}, \mathbf{r}) = \text{const}(c,r)=const con las esferas r 2 = const r 2 = const r^(2)="const"r^2 = \text{const}r2=const.
Hallar las líneas vectoriales de los campos vectoriales siguientes:
  1. a = f ( r ) ⋅ r a = f ( r ) ⋅ r a=f(r)*r\mathbf{a} = f(r) \cdot \mathbf{r}a=f(r)⋅r.
  2. a = ( a 0 , r ) b 0 a = ( a 0 , r ) b 0 a=(a_(0),r)b_(0)\mathbf{a} = (\mathbf{a}_0, \mathbf{r}) \mathbf{b}_0a=(a0,r)b0, donde a 0 , b 0 a 0 , b 0 a_(0),b_(0)\mathbf{a}_0, \mathbf{b}_0a0,b0 son los vectores constantes.

§ 11. FLUJO DEL CAMPO VECTORIAL.

MÉTODOS DEL CÁLCULO DEL FLUJO

I. Flujo del campo vectorial.

Sea que tenemos el campo vectorial
a ( M ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k , a ( M ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k , a(M)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k,\mathbf{a}(M) = P(x, y, z) \mathbf{i} + Q(x, y, z) \mathbf{j} + R(x, y, z) \mathbf{k},a(M)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k,
donde las coordenadas P ( x , y , z ) P ( x , y , z ) P(x,y,z)P(x, y, z)P(x,y,z), Q ( x , y , z ) Q ( x , y , z ) Q(x,y,z)Q(x, y, z)Q(x,y,z), R ( x , y , z ) R ( x , y , z ) R(x,y,z)R(x, y, z)R(x,y,z) del vector a ( M ) a ( M ) a(M)\mathbf{a}(M)a(M) son continuas (el campo a ( M ) a ( M ) a(M)\mathbf{a}(M)a(M) es continuo) en algún dominio G G GGG. Sea S S SSS alguna superficie bilateral plana o parcialmente plana en la cual está escogido un lado determinado (la superficie orientada).
Definición. Flujo Π Π Pi\PiΠ del campo vectorial a ( M ) a ( M ) a(M)\mathbf{a}(M)a(M) a través de la superficie orientada S S SSS se llama la integral superficial del primer género por la superficie S S SSS de la proyección del vector a ( M ) a ( M ) a(M)\mathbf{a}(M)a(M) a la normal n ( M ) n ( M ) n(M)\mathbf{n}(M)n(M) hacia esta superficie:
Π = ∬ S pr n a d S = ∬ S ( a , n 0 ) d S , Π = ∬ S   pr n a d S = ∬ S   ( a , n 0 ) d S , Pi=∬_(S)"pr"_(n)adS=∬_(S)(a,n^(0))dS,\Pi = \iint_S \text{pr}_\mathbf{n} \mathbf{a} \, dS = \iint_S (\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) \, dS,Π=∬SprnadS=∬S(a,n0)dS,
donde n 0 n 0 n^(0)\mathbf{n}^0n0 es el vector de unidad (versor) de la normal n n n\mathbf{n}n hacia el lado escogido de la superficie S S SSS; d S d S dSdSdS es el elemento de área de la superficie S S SSS.
En el caso de una superficie cerrada vamos a elegir siempre la normal exterior n n n\mathbf{n}n, dirigida fuera del dominio limitado con la superficie S S SSS.

Si α , β , γ α , β , γ alpha,beta,gamma\alpha, \beta, \gammaα,β,γ son los ángulos que forman con los ejes de coordenadas O x , O y , O z O x , O y , O z Ox,Oy,OzOx, Oy, OzOx,Oy,Oz la normal n n n\mathbf{n}n a la superficie S S SSS, entonces se puede expresar el flujo a través de la integral superficial del segundo género
Π = ∬ S ( a , n 0 ) d S = ∬ S [ P ( x , y , z ) cos ⁡ α + Q ( x , y , z ) cos ⁡ β + R ( x , y , z ) cos ⁡ γ ] d S Π = ∬ S   ( a , n 0 ) d S = ∬ S   P ( x , y , z ) cos ⁡ α + Q ( x , y , z ) cos ⁡ β + R ( x , y , z ) cos ⁡ γ d S Pi=∬_(S)(a,n^(0))dS=∬_(S)[P(x,y,z)cos alpha+Q(x,y,z)cos beta+R(x,y,z)cos gamma]dS\Pi = \iint_S (\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) \, dS = \iint_S \left[ P(x, y, z) \cos \alpha + Q(x, y, z) \cos \beta + R(x, y, z) \cos \gamma \right] \, dSΠ=∬S(a,n0)dS=∬S[P(x,y,z)cos⁡α+Q(x,y,z)cos⁡β+R(x,y,z)cos⁡γ]dS
o
Π = ∬ S ( a , n 0 ) d S = ∬ S P ( x , y , z ) d y d z + Q ( x , y , z ) d x d z + R ( x , y , z ) d x d y , Π = ∬ S   ( a , n 0 ) d S = ∬ S   P ( x , y , z ) d y d z + Q ( x , y , z ) d x d z + R ( x , y , z ) d x d y , Pi=∬_(S)(a,n^(0))dS=∬_(S)P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dxdz+R(x,y,z)dxdy,\Pi = \iint_S (\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) \, dS = \iint_S P(x, y, z) \, dy \, dz + Q(x, y, z) \, dx \, dz + R(x, y, z) \, dx \, dy,Π=∬S(a,n0)dS=∬SP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dxdz+R(x,y,z)dxdy,
donde
cos ⁡ α d S = d y d z , cos ⁡ β d S = d x d z , cos ⁡ γ d S = d x d y . cos ⁡ α d S = d y d z , cos ⁡ β d S = d x d z , cos ⁡ γ d S = d x d y . cos alphadS=dydz,quad cos betadS=dxdz,quad cos gammadS=dxdy.\cos \alpha \, dS = dy \, dz, \quad \cos \beta \, dS = dx \, dz, \quad \cos \gamma \, dS = dx \, dy.cos⁡αdS=dydz,cos⁡βdS=dxdz,cos⁡γdS=dxdy.

PROPIEDADES PRINCIPALES DEL FLUJO DEL CAMPO VECTORIAL
a) El flujo cambia el signo al inverso al modificar la orientación de la superficie (es decir, con la variación de la orientación de la normal n n n\mathbf{n}n a la superficie S S SSS):
∬ S + ( a , n 0 ) d S = − ∬ S − ( a , n 0 ) d S , ∬ S +   ( a , n 0 ) d S = − ∬ S −   ( a , n 0 ) d S , ∬_(S^(+))(a,n^(0))dS=-∬_(S^(-))(a,n^(0))dS,\iint_{S^+} (\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) \, dS = - \iint_{S^-} (\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) \, dS,∬S+(a,n0)dS=−∬S−(a,n0)dS,
donde S + S + S^(+)S^+S+ es el lado de la superficie S S SSS, en la cual se elige la normal n n n\mathbf{n}n, y S − S − S^(-)S^-S− es el lado de la superficie S S SSS, en la cual se toma la normal − n − n -n-\mathbf{n}−n (véase [6]).
b) Propiedad de linealidad:
∬ S ( λ a + μ b , n 0 ) d S = λ ∬ S ( a , n 0 ) d S + μ ∬ S ( b , n 0 ) d S , ∬ S   ( λ a + μ b , n 0 ) d S = λ ∬ S   ( a , n 0 ) d S + μ ∬ S   ( b , n 0 ) d S , ∬_(S)(lambdaa+mub,n^(0))dS=lambda∬_(S)(a,n^(0))dS+mu∬_(S)(b,n^(0))dS,\iint_S (\lambda \mathbf{a} + \mu \mathbf{b}, \mathbf{n}^0) \, dS = \lambda \iint_S (\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) \, dS + \mu \iint_S (\mathbf{b}, \mathbf{n}^0) \, dS,∬S(λa+μb,n0)dS=λ∬S(a,n0)dS+μ∬S(b,n0)dS,
donde λ λ lambda\lambdaλ y μ μ mu\muμ son los números constantes.
c) Propiedad de aditividad: si la superficie S S SSS se compone de algunas partes planas S 1 , S 2 , … , S m S 1 , S 2 , … , S m S_(1),S_(2),dots,S_(m)S_1, S_2, \ldots, S_mS1,S2,…,Sm, entonces el flujo del campo vectorial a ( M ) a ( M ) a(M)\mathbf{a}(M)a(M) a través de S S SSS es igual a la suma de los flujos del vector a ( M ) a ( M ) a(M)\mathbf{a}(M)a(M) a través de las superficies S 1 , S 2 , … , S m S 1 , S 2 , … , S m S_(1),S_(2),dots,S_(m)S_1, S_2, \ldots, S_mS1,S2,…,Sm:
Π = ∑ k = 1 m ∬ S k ( a , n 0 ) d S . Π = ∑ k = 1 m   ∬ S k   ( a , n 0 ) d S . Pi=sum_(k=1)^(m)∬_(S_(k))(a,n^(0))dS.\Pi = \sum_{k=1}^m \iint_{S_k} (\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) \, dS.Π=∑k=1m∬Sk(a,n0)dS.
Esta propiedad permite extender el concepto del flujo a las superficies parcialmente planas.
Ejemplo 1. Hallar el flujo del vector a = i a = i a=i\mathbf{a} = \mathbf{i}a=i a través de un área perpendicular al eje O x O x OxOxOx y que tiene la forma del rectángulo cuyos lados son iguales a 1 y 2 (fig. 16), en la dirección positiva del eje O x O x OxOxOx.
Solución. Según la definición del flujo del vector a través de la superficie S S SSS tendremos
Π = ∬ S ( a , n 0 ) d S . Π = ∬ S   ( a , n 0 ) d S . Pi=∬_(S)(a,n^(0))dS.\Pi = \iint_S (\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) \, dS.Π=∬S(a,n0)dS.
En nuestro caso a = i a = i a=i\mathbf{a} = \mathbf{i}a=i, n 0 = i n 0 = i n^(0)=i\mathbf{n}^0 = \mathbf{i}n0=i, entonces ( a , n 0 ) = ( i , i ) = 1 ( a , n 0 ) = ( i , i ) = 1 (a,n^(0))=(i,i)=1(\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) = (\mathbf{i}, \mathbf{i}) = 1(a,n0)=(i,i)=1. Teniendo en cuenta que el área del rectángulo es igual a 2, obtenemos
Π = ∬ S 1 d S = 2. Π = ∬ S   1 d S = 2. Pi=∬_(S)1dS=2.\Pi = \iint_S 1 \, dS = 2.Π=∬S1dS=2.
Observación. Eligiendo el vector unitario (versor) de la normal al área S S SSS de tal modo que n 0 = − i n 0 = − i n^(0)=-i\mathbf{n}^0 = -\mathbf{i}n0=−i, obtendríamos Π = − 2 Π = − 2 Pi=-2\Pi = -2Π=−2.
Ejemplo 2. Calcular el flujo del campo vectorial a = r a = r a=r\mathbf{a} = \mathbf{r}a=r, donde r r r\mathbf{r}r es el radio vector a través del recto cilindro circular de la altura h h hhh, el radio de base R R RRR y el eje O z O z OzOzOz.
Solución. Superficie S S SSS se compone de la superficie lateral σ 1 σ 1 sigma_(1)\sigma_1σ1, de la base superior σ 2 σ 2 sigma_(2)\sigma_2σ2 y de la base inferior σ 3 σ 3 sigma_(3)\sigma_3σ3 del cilindro. El flujo buscado Π Π Pi\PiΠ en virtud de la propiedad de aditividad será igual a Π = Π 1 + Π 2 + Π 3 Π = Π 1 + Π 2 + Π 3 Pi=Pi_(1)+Pi_(2)+Pi_(3)\Pi = \Pi_1 + \Pi_2 + \Pi_3Π=Π1+Π2+Π3, donde Π 1 , Π 2 , Π 3 Π 1 , Π 2 , Π 3 Pi_(1),Pi_(2),Pi_(3)\Pi_1, \Pi_2, \Pi_3Π1,Π2,Π3 son los flujos del campo dado a través de σ 1 , σ 2 , σ 3 σ 1 , σ 2 , σ 3 sigma_(1),sigma_(2),sigma_(3)\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3σ1,σ2,σ3, respectivamente.
La normal exterior n 0 n 0 n^(0)\mathbf{n}^0n0 en la superficie lateral σ 1 σ 1 sigma_(1)\sigma_1σ1 del cilindro es paralela al plano x O y x O y xOyxOyxOy, por eso
( a , n 0 ) = ( r , n 0 ) = pr n 0 r = R ( a , n 0 ) = ( r , n 0 ) = pr n 0 r = R (a,n^(0))=(r,n^(0))="pr"_(n^(0))r=R(\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) = (\mathbf{r}, \mathbf{n}^0) = \text{pr}_{\mathbf{n}^0} \mathbf{r} = R(a,n0)=(r,n0)=prn0r=R
(véase la fig. 17). Por consiguiente,
Π 1 = ∬ σ 1 ( a , n 0 ) d S = R ∬ σ 1 d S = R ⋅ 2 π R h = 2 π R 2 h . Π 1 = ∬ σ 1   ( a , n 0 ) d S = R ∬ σ 1   d S = R ⋅ 2 π R h = 2 π R 2 h . Pi_(1)=∬_(sigma_(1))(a,n^(0))dS=R∬_(sigma_(1))dS=R*2pi Rh=2piR^(2)h.\Pi_1 = \iint_{\sigma_1} (\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) \, dS = R \iint_{\sigma_1} dS = R \cdot 2\pi R h = 2\pi R^2 h.Π1=∬σ1(a,n0)dS=R∬σ1dS=R⋅2πRh=2πR2h.

En la base superior σ 2 σ 2 sigma_(2)\sigma_2σ2 la normal n 0 n 0 n^(0)\mathbf{n}^0n0 es paralela al eje O z O z OzOzOz, por eso se puede considerar n 0 = k n 0 = k n^(0)=k\mathbf{n}^0 = \mathbf{k}n0=k (fig. 17). Entonces
( a , n 0 ) = ( r , k ) = pr O z r = h , ( a , n 0 ) = ( r , k ) = pr O z r = h , (a,n^(0))=(r,k)="pr"_(Oz)r=h,(\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) = (\mathbf{r}, \mathbf{k}) = \text{pr}_{Oz} \mathbf{r} = h,(a,n0)=(r,k)=prOzr=h,
y lo que significa
Π 2 = ∬ σ 2 ( a , n 0 ) d S = h ∬ σ 2 d S = h ⋅ π R 2 = π R 2 h . Π 2 = ∬ σ 2   ( a , n 0 ) d S = h ∬ σ 2   d S = h ⋅ π R 2 = π R 2 h . Pi_(2)=∬_(sigma_(2))(a,n^(0))dS=h∬_(sigma_(2))dS=h*piR^(2)=piR^(2)h.\Pi_2 = \iint_{\sigma_2} (\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) \, dS = h \iint_{\sigma_2} dS = h \cdot \pi R^2 = \pi R^2 h.Π2=∬σ2(a,n0)dS=h∬σ2dS=h⋅πR2=πR2h.

En la base inferior σ 3 σ 3 sigma_(3)\sigma_3σ3 la normal n 0 n 0 n^(0)\mathbf{n}^0n0 es paralela al eje O z O z OzOzOz, pero dirigida en sentido contrario, por lo que n 0 = − k n 0 = − k n^(0)=-k\mathbf{n}^0 = -\mathbf{k}n0=−k. Entonces
( a , n 0 ) = ( r , − k ) = − pr O z r = 0 , ( a , n 0 ) = ( r , − k ) = − pr O z r = 0 , (a,n^(0))=(r,-k)=-"pr"_(Oz)r=0,(\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) = (\mathbf{r}, -\mathbf{k}) = -\text{pr}_{Oz} \mathbf{r} = 0,(a,n0)=(r,−k)=−prOzr=0,
ya que en la base inferior z = 0 z = 0 z=0z = 0z=0. Por lo tanto,
Π 3 = ∬ σ 3 ( a , n 0 ) d S = 0. Π 3 = ∬ σ 3   ( a , n 0 ) d S = 0. Pi_(3)=∬_(sigma_(3))(a,n^(0))dS=0.\Pi_3 = \iint_{\sigma_3} (\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) \, dS = 0.Π3=∬σ3(a,n0)dS=0.
Finalmente, el flujo total Π Π Pi\PiΠ a través de la superficie del cilindro es:
Π = Π 1 + Π 2 + Π 3 = 2 π R 2 h + π R 2 h + 0 = 3 π R 2 h . Π = Π 1 + Π 2 + Π 3 = 2 π R 2 h + π R 2 h + 0 = 3 π R 2 h . Pi=Pi_(1)+Pi_(2)+Pi_(3)=2piR^(2)h+piR^(2)h+0=3piR^(2)h.\Pi = \Pi_1 + \Pi_2 + \Pi_3 = 2\pi R^2 h + \pi R^2 h + 0 = 3\pi R^2 h.Π=Π1+Π2+Π3=2πR2h+πR2h+0=3πR2h.
Ejemplo 3. Calcular el flujo del campo vectorial a = r a = r a=r\mathbf{a} = \mathbf{r}a=r a través de la superficie de una esfera de radio R R RRR centrada en el origen.
Solución. La superficie de la esfera S S SSS está definida por x 2 + y 2 + z 2 = R 2 x 2 + y 2 + z 2 = R 2 x^(2)+y^(2)+z^(2)=R^(2)x^2 + y^2 + z^2 = R^2x2+y2+z2=R2. La normal exterior n 0 n 0 n^(0)\mathbf{n}^0n0 en cualquier punto de la esfera es paralela al vector de posición r r r\mathbf{r}r, por lo que:
n 0 = r R . n 0 = r R . n^(0)=(r)/(R).\mathbf{n}^0 = \frac{\mathbf{r}}{R}.n0=rR.
El producto escalar ( a , n 0 ) ( a , n 0 ) (a,n^(0))(\mathbf{a}, \mathbf{n}^0)(a,n0) es:
( a , n 0 ) = ( r , r R ) = | r | 2 R = R 2 R = R . ( a , n 0 ) = r , r R = | r | 2 R = R 2 R = R . (a,n^(0))=(r,(r)/(R))=(|r|^(2))/(R)=(R^(2))/(R)=R.(\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) = \left( \mathbf{r}, \frac{\mathbf{r}}{R} \right) = \frac{|\mathbf{r}|^2}{R} = \frac{R^2}{R} = R.(a,n0)=(r,rR)=|r|2R=R2R=R.
Por lo tanto, el flujo Π Π Pi\PiΠ es:
Π = ∬ S ( a , n 0 ) d S = ∬ S R d S = R ⋅ 4 π R 2 = 4 π R 3 . Π = ∬ S   ( a , n 0 ) d S = ∬ S   R d S = R ⋅ 4 π R 2 = 4 π R 3 . Pi=∬_(S)(a,n^(0))dS=∬_(S)RdS=R*4piR^(2)=4piR^(3).\Pi = \iint_S (\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) \, dS = \iint_S R \, dS = R \cdot 4\pi R^2 = 4\pi R^3.Π=∬S(a,n0)dS=∬SRdS=R⋅4πR2=4πR3.
Ejemplo 4. Calcular el flujo del campo vectorial a = x i + y j + z k a = x i + y j + z k a=xi+yj+zk\mathbf{a} = x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k}a=xi+yj+zk a través de la superficie lateral de un cono circular recto de altura h h hhh y radio de base R R RRR, con el vértice en el origen y el eje a lo largo del eje O z O z OzOzOz.
Solución. La superficie lateral del cono S S SSS está definida por z = x 2 + y 2 z = x 2 + y 2 z=sqrt(x^(2)+y^(2))z = \sqrt{x^2 + y^2}z=x2+y2 con 0 ≤ z ≤ h 0 ≤ z ≤ h 0 <= z <= h0 \leq z \leq h0≤z≤h. La normal exterior n 0 n 0 n^(0)\mathbf{n}^0n0 en cualquier punto de la superficie lateral del cono es:
n 0 = − x z i − y z j + k ( x z ) 2 + ( y z ) 2 + 1 = − x i − y j + z k z 2 . n 0 = − x z i − y z j + k x z 2 + y z 2 + 1 = − x i − y j + z k z 2 . n^(0)=(-(x)/(z)i-(y)/(z)j+k)/(sqrt(((x)/(z))^(2)+((y)/(z))^(2)+1))=(-xi-yj+zk)/(zsqrt2).\mathbf{n}^0 = \frac{-\frac{x}{z} \mathbf{i} - \frac{y}{z} \mathbf{j} + \mathbf{k}}{\sqrt{\left( \frac{x}{z} \right)^2 + \left( \frac{y}{z} \right)^2 + 1}} = \frac{-x \mathbf{i} - y \mathbf{j} + z \mathbf{k}}{z \sqrt{2}}.n0=−xzi−yzj+k(xz)2+(yz)2+1=−xi−yj+zkz2.
El producto escalar ( a , n 0 ) ( a , n 0 ) (a,n^(0))(\mathbf{a}, \mathbf{n}^0)(a,n0) es:
( a , n 0 ) = − x 2 − y 2 + z 2 z 2 = − ( x 2 + y 2 ) + z 2 z 2 . ( a , n 0 ) = − x 2 − y 2 + z 2 z 2 = − ( x 2 + y 2 ) + z 2 z 2 . (a,n^(0))=(-x^(2)-y^(2)+z^(2))/(zsqrt2)=(-(x^(2)+y^(2))+z^(2))/(zsqrt2).(\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) = \frac{-x^2 - y^2 + z^2}{z \sqrt{2}} = \frac{- (x^2 + y^2) + z^2}{z \sqrt{2}}.(a,n0)=−x2−y2+z2z2=−(x2+y2)+z2z2.
Dado que z = x 2 + y 2 z = x 2 + y 2 z=sqrt(x^(2)+y^(2))z = \sqrt{x^2 + y^2}z=x2+y2, tenemos x 2 + y 2 = z 2 x 2 + y 2 = z 2 x^(2)+y^(2)=z^(2)x^2 + y^2 = z^2x2+y2=z2, por lo que:
( a , n 0 ) = − z 2 + z 2 z 2 = 0. ( a , n 0 ) = − z 2 + z 2 z 2 = 0. (a,n^(0))=(-z^(2)+z^(2))/(zsqrt2)=0.(\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) = \frac{-z^2 + z^2}{z \sqrt{2}} = 0.(a,n0)=−z2+z2z2=0.
Por lo tanto, el flujo Π Π Pi\PiΠ es:
Π = ∬ S ( a , n 0 ) d S = 0. Π = ∬ S   ( a , n 0 ) d S = 0. Pi=∬_(S)(a,n^(0))dS=0.\Pi = \iint_S (\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) \, dS = 0.Π=∬S(a,n0)dS=0.

II. Métodos del cálculo del flujo del vector.

1°. Método de proyección a uno de los planos de coordenadas.

Sea que la superficie abierta S S SSS se proyecta recíproca y unívocamente al plano x O y x O y xOyxOyxOy en el dominio D x y D x y D_(xy)D_{xy}Dxy. En este caso, la superficie S S SSS puede prefijarse por la ecuación z = f ( x , y ) z = f ( x , y ) z=f(x,y)z = f(x, y)z=f(x,y), y puesto que el segmento del área d S d S dSdSdS de esta superficie es igual a
d S = d x d y | cos ⁡ γ | , d S = d x d y | cos ⁡ γ | , dS=(dxdy)/(|cos gamma|),dS = \frac{dx \, dy}{|\cos \gamma|},dS=dxdy|cos⁡γ|,
entonces, el cálculo del flujo Π Π Pi\PiΠ a través del lado elegido de la superficie S S SSS se reduce al cálculo de la integral doble según la fórmula
(1) Π = ∬ S ( a , n 0 ) d S = ∬ D x y [ ( a , n 0 ) | cos ⁡ γ | ] z = f ( x , y ) d x d y . (1) Π = ∬ S   ( a , n 0 ) d S = ∬ D x y   ( a , n 0 ) | cos ⁡ γ | z = f ( x , y ) d x d y . {:(1)Pi=∬_(S)(a","n^(0))dS=∬_(D_(xy))[((a,n^(0)))/(|cos gamma|)]_(z=f(x,y))dxdy.:}\Pi = \iint_S (\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) \, dS = \iint_{D_{xy}} \left[ \frac{(\mathbf{a}, \mathbf{n}^0)}{|\cos \gamma|} \right]_{z = f(x, y)} dx \, dy. \tag{1}(1)Π=∬S(a,n0)dS=∬Dxy[(a,n0)|cos⁡γ|]z=f(x,y)dxdy.
Aquí el versor n 0 n 0 n^(0)\mathbf{n}^0n0 de la normal al lado elegido de la superficie S S SSS se halla mediante la fórmula
(2) n 0 = ± grad [ z − f ( x , y ) ] | grad [ z − f ( x , y ) ] | = ± − ∂ f ∂ x i − ∂ f ∂ y j + k ( ∂ f ∂ x ) 2 + ( ∂ f ∂ y ) 2 + 1 , (2) n 0 = ± grad [ z − f ( x , y ) ] | grad [ z − f ( x , y ) ] | = ± − ∂ f ∂ x i − ∂ f ∂ y j + k ∂ f ∂ x 2 + ∂ f ∂ y 2 + 1 , {:(2)n^(0)=+-("grad"[z-f(x,y)])/(|"grad"[z-f(x,y)]|)=+-(-(del f)/(del x)i-(del f)/(del y)j+k)/(sqrt(((del f)/(del x))^(2)+((del f)/(del y))^(2)+1))",":}\mathbf{n}^0 = \pm \frac{\text{grad} [z - f(x, y)]}{|\text{grad} [z - f(x, y)]|} = \pm \frac{-\frac{\partial f}{\partial x} \mathbf{i} - \frac{\partial f}{\partial y} \mathbf{j} + \mathbf{k}}{\sqrt{\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)^2 + 1}}, \tag{2}(2)n0=±grad[z−f(x,y)]|grad[z−f(x,y)]|=±−∂f∂xi−∂f∂yj+k(∂f∂x)2+(∂f∂y)2+1,
y cos ⁡ γ cos ⁡ γ cos gamma\cos \gammacos⁡γ es igual al coeficiente para el versor k k k\mathbf{k}k en la fórmula (2):
cos ⁡ γ = ± 1 ( ∂ f ∂ x ) 2 + ( ∂ f ∂ y ) 2 + 1 . cos ⁡ γ = ± 1 ∂ f ∂ x 2 + ∂ f ∂ y 2 + 1 . cos gamma=+-(1)/(sqrt(((del f)/(del x))^(2)+((del f)/(del y))^(2)+1)).\cos \gamma = \pm \frac{1}{\sqrt{\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)^2 + 1}}.cos⁡γ=±1(∂f∂x)2+(∂f∂y)2+1.
Si el ángulo entre el eje O z O z OzOzOz y la normal n 0 n 0 n^(0)\mathbf{n}^0n0 es agudo, entonces en las fórmulas (2) y (3) se toma el signo «+», si el ángulo γ γ gamma\gammaγ es obtuso, entonces se toma el signo «-». El símbolo
[ ( a , n 0 ) | cos ⁡ γ | ] z = f ( x , y ) ( a , n 0 ) | cos ⁡ γ | z = f ( x , y ) [((a,n^(0)))/(|cos gamma|)]_(z=f(x,y))\left[ \frac{(\mathbf{a}, \mathbf{n}^0)}{|\cos \gamma|} \right]_{z = f(x, y)}[(a,n0)|cos⁡γ|]z=f(x,y)
significa que en la función subintegral z z zzz se sustituye por f ( x , y ) f ( x , y ) f(x,y)f(x, y)f(x,y).
Si resulta cómodo proyectar la superficie S S SSS a los planos de coordenadas y O z y O z yOzyOzyOz o x O z x O z xOzxOzxOz, entonces para calcular el flujo Π Π Pi\PiΠ se usan respectivamente las fórmulas:
Π = ∬ D y z [ ( a , n 0 ) | cos ⁡ α | ] x = φ ( y , z ) d y d z Π = ∬ D y z   ( a , n 0 ) | cos ⁡ α | x = φ ( y , z ) d y d z Pi=∬_(D_(yz))[((a,n^(0)))/(|cos alpha|)]_(x=varphi(y,z))dydz\Pi = \iint_{D_{yz}} \left[ \frac{(\mathbf{a}, \mathbf{n}^0)}{|\cos \alpha|} \right]_{x = \varphi(y, z)} dy \, dzΠ=∬Dyz[(a,n0)|cos⁡α|]x=φ(y,z)dydz
o
Π = ∬ D x z [ ( a , n 0 ) | cos ⁡ β | ] y = ψ ( x , z ) d x d z . Π = ∬ D x z   ( a , n 0 ) | cos ⁡ β | y = ψ ( x , z ) d x d z . Pi=∬_(D_(xz))[((a,n^(0)))/(|cos beta|)]_(y=psi(x,z))dxdz.\Pi = \iint_{D_{xz}} \left[ \frac{(\mathbf{a}, \mathbf{n}^0)}{|\cos \beta|} \right]_{y = \psi(x, z)} dx \, dz.Π=∬Dxz[(a,n0)|cos⁡β|]y=ψ(x,z)dxdz.
La fórmula (4) se usa en el caso, cuando la superficie S S SSS se proyecta recíproca y unívocamente en el dominio D y z D y z D_(yz)D_{yz}Dyz del plano y O z y O z yOzyOzyOz, y, por consiguiente, puede prefijarse por la ecuación x = φ ( y , z ) x = φ ( y , z ) x=varphi(y,z)x = \varphi(y, z)x=φ(y,z); cos ⁡ α cos ⁡ α cos alpha\cos \alphacos⁡α es como coeficiente para el versor i i i\mathbf{i}i en la fórmula
n 0 = ± grad [ x − φ ( y , z ) ] | grad [ x − φ ( y , z ) ] | = ± i − ∂ φ ∂ y j − ∂ φ ∂ z k 1 + ( ∂ φ ∂ y ) 2 + ( ∂ φ ∂ z ) 2 , n 0 = ± grad [ x − φ ( y , z ) ] | grad [ x − φ ( y , z ) ] | = ± i − ∂ φ ∂ y j − ∂ φ ∂ z k 1 + ∂ φ ∂ y 2 + ∂ φ ∂ z 2 , n^(0)=+-("grad"[x-varphi(y,z)])/(|"grad"[x-varphi(y,z)]|)=+-(i-(del varphi)/(del y)j-(del varphi)/(del z)k)/(sqrt(1+((del varphi)/(del y))^(2)+((del varphi)/(del z))^(2))),\mathbf{n}^0 = \pm \frac{\text{grad} [x - \varphi(y, z)]}{|\text{grad} [x - \varphi(y, z)]|} = \pm \frac{\mathbf{i} - \frac{\partial \varphi}{\partial y} \mathbf{j} - \frac{\partial \varphi}{\partial z} \mathbf{k}}{\sqrt{1 + \left( \frac{\partial \varphi}{\partial y} \right)^2 + \left( \frac{\partial \varphi}{\partial z} \right)^2}},n0=±grad[x−φ(y,z)]|grad[x−φ(y,z)]|=±i−∂φ∂yj−∂φ∂zk1+(∂φ∂y)2+(∂φ∂z)2,
es decir,
cos ⁡ α = ± 1 1 + ( ∂ φ ∂ y ) 2 + ( ∂ φ ∂ z ) 2 . cos ⁡ α = ± 1 1 + ∂ φ ∂ y 2 + ∂ φ ∂ z 2 . cos alpha=+-(1)/(sqrt(1+((del varphi)/(del y))^(2)+((del varphi)/(del z))^(2))).\cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{1 + \left( \frac{\partial \varphi}{\partial y} \right)^2 + \left( \frac{\partial \varphi}{\partial z} \right)^2}}.cos⁡α=±11+(∂φ∂y)2+(∂φ∂z)2.
El signo «+» se toma en el caso, si el ángulo α α alpha\alphaα entre el eje O x O x OxOxOx y la normal n 0 n 0 n^(0)\mathbf{n}^0n0 es agudo, si α α alpha\alphaα es el ángulo obtuso, entonces se emplea el signo «-». La fórmula (5) se usa con la unívoca proyección recíprocamente de la superficie S S SSS al plano x O z x O z xOzxOzxOz; en este caso S S SSS puede ser prefijada por la ecuación y = ψ ( x , z ) y = ψ ( x , z ) y=psi(x,z)y = \psi(x, z)y=ψ(x,z) y entonces
n 0 = ± grad [ y − ψ ( x , z ) ] | grad [ y − ψ ( x , z ) ] | = ± ∂ ψ ∂ x i + j − ∂ ψ ∂ z k 1 + ( ∂ ψ ∂ x ) 2 + ( ∂ ψ ∂ z ) 2 , n 0 = ± grad [ y − ψ ( x , z ) ] | grad [ y − ψ ( x , z ) ] | = ± ∂ ψ ∂ x i + j − ∂ ψ ∂ z k 1 + ∂ ψ ∂ x 2 + ∂ ψ ∂ z 2 , n^(0)=+-("grad"[y-psi(x,z)])/(|"grad"[y-psi(x,z)]|)=+-((del psi)/(del x)i+j-(del psi)/(del z)k)/(sqrt(1+((del psi)/(del x))^(2)+((del psi)/(del z))^(2))),\mathbf{n}^0 = \pm \frac{\text{grad} [y - \psi(x, z)]}{|\text{grad} [y - \psi(x, z)]|} = \pm \frac{\frac{\partial \psi}{\partial x} \mathbf{i} + \mathbf{j} - \frac{\partial \psi}{\partial z} \mathbf{k}}{\sqrt{1 + \left( \frac{\partial \psi}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial \psi}{\partial z} \right)^2}},n0=±grad[y−ψ(x,z)]|grad[y−ψ(x,z)]|=±∂ψ∂xi+j−∂ψ∂zk1+(∂ψ∂x)2+(∂ψ∂z)2,
y cos ⁡ β cos ⁡ β cos beta\cos \betacos⁡β es el coeficiente para el versor j j j\mathbf{j}j en la última fórmula, es decir,
cos ⁡ β = ± 1 1 + ( ∂ ψ ∂ x ) 2 + ( ∂ ψ ∂ z ) 2 . cos ⁡ β = ± 1 1 + ∂ ψ ∂ x 2 + ∂ ψ ∂ z 2 . cos beta=+-(1)/(sqrt(1+((del psi)/(del x))^(2)+((del psi)/(del z))^(2))).\cos \beta = \pm \frac{1}{\sqrt{1 + \left( \frac{\partial \psi}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial \psi}{\partial z} \right)^2}}.cos⁡β=±11+(∂ψ∂x)2+(∂ψ∂z)2.
Si el ángulo β β beta\betaβ entre el eje O y O y OyOyOy y la normal n 0 n 0 n^(0)\mathbf{n}^0n0 es agudo, entonces se toma el signo «+», si el ángulo β β beta\betaβ es obtuso, se toma el signo «-».
Observación. En el caso, cuando la superficie S S SSS está prefijada implícitamente por la ecuación Φ ( x , y , z ) = 0 Φ ( x , y , z ) = 0 Phi(x,y,z)=0\Phi(x, y, z) = 0Φ(x,y,z)=0, el vector unitario de la normal
n 0 = i cos ⁡ α + j cos ⁡ β + k cos ⁡ γ n 0 = i cos ⁡ α + j cos ⁡ β + k cos ⁡ γ n^(0)=icos alpha+jcos beta+kcos gamma\mathbf{n}^0 = \mathbf{i} \cos \alpha + \mathbf{j} \cos \beta + \mathbf{k} \cos \gamman0=icos⁡α+jcos⁡β+kcos⁡γ
se halla según la fórmula
n 0 = ± grad Φ ( x , y , z ) | grad Φ ( x , y , z ) | = ± ∂ Φ ∂ x i + ∂ Φ ∂ y j + ∂ Φ ∂ z k ( ∂ Φ ∂ x ) 2 + ( ∂ Φ ∂ y ) 2 + ( ∂ Φ ∂ z ) 2 , n 0 = ± grad Φ ( x , y , z ) | grad Φ ( x , y , z ) | = ± ∂ Φ ∂ x i + ∂ Φ ∂ y j + ∂ Φ ∂ z k ∂ Φ ∂ x 2 + ∂ Φ ∂ y 2 + ∂ Φ ∂ z 2 , n^(0)=+-("grad"Phi(x,y,z))/(|"grad"Phi(x,y,z)|)=+-((del Phi)/(del x)i+(del Phi)/(del y)j+(del Phi)/(del z)k)/(sqrt(((del Phi)/(del x))^(2)+((del Phi)/(del y))^(2)+((del Phi)/(del z))^(2))),\mathbf{n}^0 = \pm \frac{\text{grad} \Phi(x, y, z)}{|\text{grad} \Phi(x, y, z)|} = \pm \frac{\frac{\partial \Phi}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial \Phi}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial \Phi}{\partial z} \mathbf{k}}{\sqrt{\left( \frac{\partial \Phi}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial \Phi}{\partial y} \right)^2 + \left( \frac{\partial \Phi}{\partial z} \right)^2}},n0=±gradΦ(x,y,z)|gradΦ(x,y,z)|=±∂Φ∂xi+∂Φ∂yj+∂Φ∂zk(∂Φ∂x)2+(∂Φ∂y)2+(∂Φ∂z)2,
donde el signo en el segundo miembro se determina por la elección de la normal a la superficie S S SSS. Para calcular el flujo Π Π Pi\PiΠ del campo vectorial a a a\mathbf{a}a a través de la superficie S S SSS es necesario proyectarla recíproca y unívocamente al alguno de los planos de coordenadas x O y , x O z , y O z x O y , x O z , y O z xOy,xOz,yOzxOy, xOz, yOzxOy,xOz,yOz, lo que se puede realizar, si la ecuación Φ ( x , y , z ) = 0 Φ ( x , y , z ) = 0 Phi(x,y,z)=0\Phi(x, y, z) = 0Φ(x,y,z)=0 es unívocamente resoluble, respectivamente, con respecto a z ( z = f ( x , y ) ) z ( z = f ( x , y ) ) z(z=f(x,y))z (z = f(x, y))z(z=f(x,y)), y ( y = ψ ( x , z ) ) y ( y = ψ ( x , z ) ) y(y=psi(x,z))y (y = \psi(x, z))y(y=ψ(x,z)) o x ( x = φ ( y , z ) ) x ( x = φ ( y , z ) ) x(x=varphi(y,z))x (x = \varphi(y, z))x(x=φ(y,z)), después de esto se puede usar una de las fórmulas (1), (4), (5).
Ejemplo 5. Hallar el flujo del campo vectorial
a = ( x − 2 z ) i + ( x + 3 y + z ) j + ( 5 x + y ) k a = ( x − 2 z ) i + ( x + 3 y + z ) j + ( 5 x + y ) k a=(x-2z)i+(x+3y+z)j+(5x+y)k\mathbf{a} = (x - 2z) \mathbf{i} + (x + 3y + z) \mathbf{j} + (5x + y) \mathbf{k}a=(x−2z)i+(x+3y+z)j+(5x+y)k
a través del lado superior del triángulo A B C A B C ABCABCABC con los vértices en los puntos A ( 1 , 0 , 0 ) A ( 1 , 0 , 0 ) A(1,0,0)A(1, 0, 0)A(1,0,0), B ( 0 , 1 , 0 ) B ( 0 , 1 , 0 ) B(0,1,0)B(0, 1, 0)B(0,1,0), C ( 0 , 0 , 1 ) C ( 0 , 0 , 1 ) C(0,0,1)C(0, 0, 1)C(0,0,1).
Solución. La ecuación del plano, en el cual está el triángulo A B C A B C ABCABCABC, tiene la forma x + y + z = 1 x + y + z = 1 x+y+z=1x + y + z = 1x+y+z=1, de donde z = 1 − x − y z = 1 − x − y z=1-x-yz = 1 - x - yz=1−x−y. El triángulo A B C A B C ABCABCABC se proyecta recíproca y unívocamente al plano x O y x O y xOyxOyxOy en el dominio D x y D x y D_(xy)D_{xy}Dxy, es decir, al triángulo O A B O A B OABOABOAB (fig. 18). Según la condición la normal n 0 n 0 n^(0)\mathbf{n}^0n0 al plano, en el cual está el triángulo A B C A B C ABCABCABC, forma el ángulo agudo γ γ gamma\gammaγ con el eje O z O z OzOzOz, por eso en la fórmula (2) tomamos el signo «+» y obtenemos
n 0 = grad ( x + y + z − 1 ) | grad ( x + y + z − 1 ) | = 1 3 i + 1 3 j + 1 3 k . n 0 = grad ( x + y + z − 1 ) | grad ( x + y + z − 1 ) | = 1 3 i + 1 3 j + 1 3 k . n^(0)=("grad"(x+y+z-1))/(|"grad"(x+y+z-1)|)=(1)/(sqrt3)i+(1)/(sqrt3)j+(1)/(sqrt3)k.\mathbf{n}^0 = \frac{\text{grad} (x + y + z - 1)}{|\text{grad} (x + y + z - 1)|} = \frac{1}{\sqrt{3}} \mathbf{i} + \frac{1}{\sqrt{3}} \mathbf{j} + \frac{1}{\sqrt{3}} \mathbf{k}.n0=grad(x+y+z−1)|grad(x+y+z−1)|=13i+13j+13k.
Hallamos el producto escalar
( a , n 0 ) = ( x − 2 z ) 1 3 + ( x + 3 y + z ) 1 3 + ( 5 x + y ) 1 3 = 7 x + 4 y − z 3 . ( a , n 0 ) = ( x − 2 z ) 1 3 + ( x + 3 y + z ) 1 3 + ( 5 x + y ) 1 3 = 7 x + 4 y − z 3 . (a,n^(0))=(x-2z)(1)/(sqrt3)+(x+3y+z)(1)/(sqrt3)+(5x+y)(1)/(sqrt3)=(7x+4y-z)/(sqrt3).(\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) = (x - 2z) \frac{1}{\sqrt{3}} + (x + 3y + z) \frac{1}{\sqrt{3}} + (5x + y) \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{7x + 4y - z}{\sqrt{3}}.(a,n0)=(x−2z)13+(x+3y+z)13+(5x+y)13=7x+4y−z3.
De la fórmula (6) obtenemos cos ⁡ γ = 1 3 > 0 cos ⁡ γ = 1 3 > 0 cos gamma=(1)/(sqrt3) > 0\cos \gamma = \frac{1}{\sqrt{3}} > 0cos⁡γ=13>0 y, por consiguiente,
d S = d x d y cos ⁡ γ = 3 d x d y . d S = d x d y cos ⁡ γ = 3 d x d y . dS=(dxdy)/(cos gamma)=sqrt3dxdy.dS = \frac{dx \, dy}{\cos \gamma} = \sqrt{3} \, dx \, dy.dS=dxdycos⁡γ=3dxdy.
Utilizando la fórmula (1), calculamos el flujo buscado:
Π = ∬ S ( a , n 0 ) d S = ∬ D x y ( 7 x + 4 y − z ) | z = 1 − x − y d x d y = ∬ D x y ( 8 x + 5 y − 1 ) d x d y . Π = ∬ S   ( a , n 0 ) d S = ∬ D x y   7 x + 4 y − z | z = 1 − x − y d x d y = ∬ D x y   8 x + 5 y − 1 d x d y . Pi=∬_(S)(a,n^(0))dS=∬_(D_(xy))(7x+4y-z)|_(z=1-x-y)dxdy=∬_(D_(xy))(8x+5y-1)dxdy.\Pi = \iint_S (\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) \, dS = \iint_{D_{xy}} \left( 7x + 4y - z \right) \bigg|_{z = 1 - x - y} dx \, dy = \iint_{D_{xy}} \left( 8x + 5y - 1 \right) dx \, dy.Π=∬S(a,n0)dS=∬Dxy(7x+4y−z)|z=1−x−ydxdy=∬Dxy(8x+5y−1)dxdy.
El dominio de integración D x y D x y D_(xy)D_{xy}Dxy es el triángulo O A B O A B OABOABOAB con vértices en ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ) (0,0)(0, 0)(0,0), ( 1 , 0 ) ( 1 , 0 ) (1,0)(1, 0)(1,0) y ( 0 , 1 ) ( 0 , 1 ) (0,1)(0, 1)(0,1). Por lo tanto,
Π = ∫ 0 1 d x ∫ 0 1 − x ( 8 x + 5 y − 1 ) d y . Π = ∫ 0 1   d x ∫ 0 1 − x   ( 8 x + 5 y − 1 ) d y . Pi=int_(0)^(1)dxint_(0)^(1-x)(8x+5y-1)dy.\Pi = \int_0^1 dx \int_0^{1 - x} (8x + 5y - 1) dy.Π=∫01dx∫01−x(8x+5y−1)dy.
Integrando primero con respecto a y y yyy:
∫ 0 1 − x ( 8 x + 5 y − 1 ) d y = [ 8 x y + 5 2 y 2 − y ] 0 1 − x = 8 x ( 1 − x ) + 5 2 ( 1 − x ) 2 − ( 1 − x ) . ∫ 0 1 − x   ( 8 x + 5 y − 1 ) d y = 8 x y + 5 2 y 2 − y 0 1 − x = 8 x ( 1 − x ) + 5 2 ( 1 − x ) 2 − ( 1 − x ) . int_(0)^(1-x)(8x+5y-1)dy=[8xy+(5)/(2)y^(2)-y]_(0)^(1-x)=8x(1-x)+(5)/(2)(1-x)^(2)-(1-x).\int_0^{1 - x} (8x + 5y - 1) dy = \left[ 8x y + \frac{5}{2} y^2 - y \right]_0^{1 - x} = 8x (1 - x) + \frac{5}{2} (1 - x)^2 - (1 - x).∫01−x(8x+5y−1)dy=[8xy+52y2−y]01−x=8x(1−x)+52(1−x)2−(1−x).
Simplificando:
8 x ( 1 − x ) + 5 2 ( 1 − 2 x + x 2 ) − ( 1 − x ) = 8 x − 8 x 2 + 5 2 − 5 x + 5 2 x 2 − 1 + x . 8 x ( 1 − x ) + 5 2 ( 1 − 2 x + x 2 ) − ( 1 − x ) = 8 x − 8 x 2 + 5 2 − 5 x + 5 2 x 2 − 1 + x . 8x(1-x)+(5)/(2)(1-2x+x^(2))-(1-x)=8x-8x^(2)+(5)/(2)-5x+(5)/(2)x^(2)-1+x.8x (1 - x) + \frac{5}{2} (1 - 2x + x^2) - (1 - x) = 8x - 8x^2 + \frac{5}{2} - 5x + \frac{5}{2} x^2 - 1 + x.8x(1−x)+52(1−2x+x2)−(1−x)=8x−8x2+52−5x+52x2−1+x.
Agrupando términos:
( 8 x − 5 x + x ) + ( − 8 x 2 + 5 2 x 2 ) + ( 5 2 − 1 ) = 4 x − 11 2 x 2 + 3 2 . ( 8 x − 5 x + x ) + ( − 8 x 2 + 5 2 x 2 ) + 5 2 − 1 = 4 x − 11 2 x 2 + 3 2 . (8x-5x+x)+(-8x^(2)+(5)/(2)x^(2))+((5)/(2)-1)=4x-(11)/(2)x^(2)+(3)/(2).(8x - 5x + x) + (-8x^2 + \frac{5}{2} x^2) + \left( \frac{5}{2} - 1 \right) = 4x - \frac{11}{2} x^2 + \frac{3}{2}.(8x−5x+x)+(−8x2+52x2)+(52−1)=4x−112x2+32.
Ahora integramos con respecto a x x xxx:
∫ 0 1 ( 4 x − 11 2 x 2 + 3 2 ) d x = [ 2 x 2 − 11 6 x 3 + 3 2 x ] 0 1 = 2 − 11 6 + 3 2 = 12 6 − 11 6 + 9 6 = 10 6 = 5 3 . ∫ 0 1   4 x − 11 2 x 2 + 3 2 d x = 2 x 2 − 11 6 x 3 + 3 2 x 0 1 = 2 − 11 6 + 3 2 = 12 6 − 11 6 + 9 6 = 10 6 = 5 3 . int_(0)^(1)(4x-(11)/(2)x^(2)+(3)/(2))dx=[2x^(2)-(11)/(6)x^(3)+(3)/(2)x]_(0)^(1)=2-(11)/(6)+(3)/(2)=(12)/(6)-(11)/(6)+(9)/(6)=(10)/(6)=(5)/(3).\int_0^1 \left( 4x - \frac{11}{2} x^2 + \frac{3}{2} \right) dx = \left[ 2x^2 - \frac{11}{6} x^3 + \frac{3}{2} x \right]_0^1 = 2 - \frac{11}{6} + \frac{3}{2} = \frac{12}{6} - \frac{11}{6} + \frac{9}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}.∫01(4x−112x2+32)dx=[2x2−116x3+32x]01=2−116+32=126−116+96=106=53.
Por lo tanto, el flujo buscado es:
Π = 5 3 . Π = 5 3 . Pi=(5)/(3).\Pi = \frac{5}{3}.Π=53.
Ejemplo 6. Calcular el flujo del campo vectorial
a = y 2 j + z k a = y 2 j + z k a=y^(2)j+zk\mathbf{a} = y^2 \mathbf{j} + z \mathbf{k}a=y2j+zk
a través del segmento de la superficie z = x 2 + y 2 z = x 2 + y 2 z=x^(2)+y^(2)z = x^2 + y^2z=x2+y2, cortado por el plano z = 2 z = 2 z=2z = 2z=2. Se toma la normal exterior respecto al espacio limitado por el paraboloide.
Solución. La superficie dada (el paraboloide de rotación) se proyecta recíproca y unívocamente al plano x O y x O y xOyxOyxOy en el círculo D x y D x y D_(xy)D_{xy}Dxy (fig. 19). Hallamos el versor de la normal n 0 n 0 n^(0)\mathbf{n}^0n0 a la superficie S S SSS:
n 0 = ± grad ( z − x 2 − y 2 ) | grad ( z − x 2 − y 2 ) | = ± − 2 x i − 2 y j + k 4 x 2 + 4 y 2 + 1 . n 0 = ± grad ( z − x 2 − y 2 ) | grad ( z − x 2 − y 2 ) | = ± − 2 x i − 2 y j + k 4 x 2 + 4 y 2 + 1 . n^(0)=+-("grad"(z-x^(2)-y^(2)))/(|"grad"(z-x^(2)-y^(2))|)=+-(-2xi-2yj+k)/(sqrt(4x^(2)+4y^(2)+1)).\mathbf{n}^0 = \pm \frac{\text{grad} (z - x^2 - y^2)}{|\text{grad} (z - x^2 - y^2)|} = \pm \frac{-2x \mathbf{i} - 2y \mathbf{j} + \mathbf{k}}{\sqrt{4x^2 + 4y^2 + 1}}.n0=±grad(z−x2−y2)|grad(z−x2−y2)|=±−2xi−2yj+k4x2+4y2+1.
Según la condición del problema la normal n 0 n 0 n^(0)\mathbf{n}^0n0 forma el ángulo obtuso γ γ gamma\gammaγ con el eje O z O z OzOzOz, por eso delante de la fracción es necesario tomar el signo «-». De tal modo,
n 0 = 2 x i + 2 y j − k 4 x 2 + 4 y 2 + 1 , n 0 = 2 x i + 2 y j − k 4 x 2 + 4 y 2 + 1 , n^(0)=(2xi+2yj-k)/(sqrt(4x^(2)+4y^(2)+1)),\mathbf{n}^0 = \frac{2x \mathbf{i} + 2y \mathbf{j} - \mathbf{k}}{\sqrt{4x^2 + 4y^2 + 1}},n0=2xi+2yj−k4x2+4y2+1,
de aquí
cos ⁡ γ = − 1 4 x 2 + 4 y 2 + 1 < 0 cos ⁡ γ = − 1 4 x 2 + 4 y 2 + 1 < 0 cos gamma=-(1)/(sqrt(4x^(2)+4y^(2)+1)) < 0\cos \gamma = -\frac{1}{\sqrt{4x^2 + 4y^2 + 1}} < 0cos⁡γ=−14x2+4y2+1<0
y, por consiguiente,
d S = d x d y | cos ⁡ γ | = 4 x 2 + 4 y 2 + 1 d x d y . d S = d x d y | cos ⁡ γ | = 4 x 2 + 4 y 2 + 1 d x d y . dS=(dxdy)/(|cos gamma|)=sqrt(4x^(2)+4y^(2)+1)dxdy.dS = \frac{dx \, dy}{|\cos \gamma|} = \sqrt{4x^2 + 4y^2 + 1} \, dx \, dy.dS=dxdy|cos⁡γ|=4x2+4y2+1dxdy.
Hallamos el producto escalar
( a , n 0 ) = 2 y 3 − z 4 x 2 + 4 y 2 + 1 . ( a , n 0 ) = 2 y 3 − z 4 x 2 + 4 y 2 + 1 . (a,n^(0))=(2y^(3)-z)/(sqrt(4x^(2)+4y^(2)+1)).(\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) = \frac{2y^3 - z}{\sqrt{4x^2 + 4y^2 + 1}}.(a,n0)=2y3−z4x2+4y2+1.
El flujo buscado según la fórmula (1) es igual a
Π = ∬ S ( a , n 0 ) d S = ∬ D x y ( 2 y 3 − z ) | z = x 2 + y 2 d x d y = ∬ D x y ( 2 y 3 − y 2 − x 2 ) d x d y . Π = ∬ S   ( a , n 0 ) d S = ∬ D x y   2 y 3 − z | z = x 2 + y 2 d x d y = ∬ D x y   2 y 3 − y 2 − x 2 d x d y . Pi=∬_(S)(a,n^(0))dS=∬_(D_(xy))(2y^(3)-z)|_(z=x^(2)+y^(2))dxdy=∬_(D_(xy))(2y^(3)-y^(2)-x^(2))dxdy.\Pi = \iint_S (\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) \, dS = \iint_{D_{xy}} \left( 2y^3 - z \right) \bigg|_{z = x^2 + y^2} dx \, dy = \iint_{D_{xy}} \left( 2y^3 - y^2 - x^2 \right) dx \, dy.Π=∬S(a,n0)dS=∬Dxy(2y3−z)|z=x2+y2dxdy=∬Dxy(2y3−y2−x2)dxdy.
El dominio de integración D x y D x y D_(xy)D_{xy}Dxy es el círculo con el centro en el origen de coordenadas del radio R = 2 R = 2 R=sqrt2R = \sqrt{2}R=2. Introduciendo las coordenadas polares x = ρ cos ⁡ φ x = ρ cos ⁡ φ x=rho cos varphix = \rho \cos \varphix=ρcos⁡φ, y = ρ sin ⁡ φ y = ρ sin ⁡ φ y=rho sin varphiy = \rho \sin \varphiy=ρsin⁡φ, obtendremos
Π = ∬ D x y ( 2 ρ 3 sin 3 ⁡ φ − ρ 2 ) ρ d ρ d φ = ∫ 0 2 π d φ ∫ 0 2 ( 2 ρ 4 sin 3 ⁡ φ − ρ 3 ) d ρ . Π = ∬ D x y   2 ρ 3 sin 3 ⁡ φ − ρ 2 ρ d ρ d φ = ∫ 0 2 π   d φ ∫ 0 2   2 ρ 4 sin 3 ⁡ φ − ρ 3 d ρ . Pi=∬_(D_(xy))(2rho^(3)sin^(3)varphi-rho^(2))rhod rhod varphi=int_(0)^(2pi)d varphiint_(0)^(sqrt2)(2rho^(4)sin^(3)varphi-rho^(3))d rho.\Pi = \iint_{D_{xy}} \left( 2\rho^3 \sin^3 \varphi - \rho^2 \right) \rho \, d\rho \, d\varphi = \int_0^{2\pi} d\varphi \int_0^{\sqrt{2}} \left( 2\rho^4 \sin^3 \varphi - \rho^3 \right) d\rho.Π=∬Dxy(2ρ3sin3⁡φ−ρ2)ρdρdφ=∫02πdφ∫02(2ρ4sin3⁡φ−ρ3)dρ.
Integrando primero con respecto a ρ ρ rho\rhoρ:
∫ 0 2 ( 2 ρ 4 sin 3 ⁡ φ − ρ 3 ) d ρ = [ 2 5 ρ 5 sin 3 ⁡ φ − 1 4 ρ 4 ] 0 2 = 2 5 ( 2 ) 5 sin 3 ⁡ φ − 1 4 ( 2 ) 4 . ∫ 0 2   2 ρ 4 sin 3 ⁡ φ − ρ 3 d ρ = 2 5 ρ 5 sin 3 ⁡ φ − 1 4 ρ 4 0 2 = 2 5 ( 2 ) 5 sin 3 ⁡ φ − 1 4 ( 2 ) 4 . int_(0)^(sqrt2)(2rho^(4)sin^(3)varphi-rho^(3))d rho=[(2)/(5)rho^(5)sin^(3)varphi-(1)/(4)rho^(4)]_(0)^(sqrt2)=(2)/(5)(sqrt2)^(5)sin^(3)varphi-(1)/(4)(sqrt2)^(4).\int_0^{\sqrt{2}} \left( 2\rho^4 \sin^3 \varphi - \rho^3 \right) d\rho = \left[ \frac{2}{5} \rho^5 \sin^3 \varphi - \frac{1}{4} \rho^4 \right]_0^{\sqrt{2}} = \frac{2}{5} (\sqrt{2})^5 \sin^3 \varphi - \frac{1}{4} (\sqrt{2})^4.∫02(2ρ4sin3⁡φ−ρ3)dρ=[25ρ5sin3⁡φ−14ρ4]02=25(2)5sin3⁡φ−14(2)4.
Simplificando:
2 5 ⋅ 4 2 sin 3 ⁡ φ − 1 4 ⋅ 4 = 8 2 5 sin 3 ⁡ φ − 1. 2 5 ⋅ 4 2 sin 3 ⁡ φ − 1 4 ⋅ 4 = 8 2 5 sin 3 ⁡ φ − 1. (2)/(5)*4sqrt2sin^(3)varphi-(1)/(4)*4=(8sqrt2)/(5)sin^(3)varphi-1.\frac{2}{5} \cdot 4\sqrt{2} \sin^3 \varphi - \frac{1}{4} \cdot 4 = \frac{8\sqrt{2}}{5} \sin^3 \varphi - 1.25⋅42sin3⁡φ−14⋅4=825sin3⁡φ−1.
Ahora integramos con respecto a φ φ varphi\varphiφ:
∫ 0 2 π ( 8 2 5 sin 3 ⁡ φ − 1 ) d φ = 8 2 5 ∫ 0 2 π sin 3 ⁡ φ d φ − ∫ 0 2 π d φ . ∫ 0 2 π   8 2 5 sin 3 ⁡ φ − 1 d φ = 8 2 5 ∫ 0 2 π   sin 3 ⁡ φ d φ − ∫ 0 2 π   d φ . int_(0)^(2pi)((8sqrt2)/(5)sin^(3)varphi-1)d varphi=(8sqrt2)/(5)int_(0)^(2pi)sin^(3)varphid varphi-int_(0)^(2pi)d varphi.\int_0^{2\pi} \left( \frac{8\sqrt{2}}{5} \sin^3 \varphi - 1 \right) d\varphi = \frac{8\sqrt{2}}{5} \int_0^{2\pi} \sin^3 \varphi \, d\varphi - \int_0^{2\pi} d\varphi.∫02π(825sin3⁡φ−1)dφ=825∫02πsin3⁡φdφ−∫02πdφ.
La integral de sin 3 ⁡ φ sin 3 ⁡ φ sin^(3)varphi\sin^3 \varphisin3⁡φ sobre [ 0 , 2 π ] [ 0 , 2 π ] [0,2pi][0, 2\pi][0,2π] es cero, ya que sin 3 ⁡ φ sin 3 ⁡ φ sin^(3)varphi\sin^3 \varphisin3⁡φ es una función impar y el intervalo de integración es simétrico. Por lo tanto,
Π = 0 − 2 π = − 2 π . Π = 0 − 2 π = − 2 π . Pi=0-2pi=-2pi.\Pi = 0 - 2\pi = -2\pi.Π=0−2π=−2π.

§ 12. FLUJO DEL VECTOR A TRAVÉS DE LA SUPERFICIE CERRADA. TEOREMA DE GAUSS—OSTROGRADSKI

Teorema. Si en algún dominio G G GGG del espacio las coordenadas del vector
a = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k a = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k a=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k\mathbf{a} = P(x, y, z) \mathbf{i} + Q(x, y, z) \mathbf{j} + R(x, y, z) \mathbf{k}a=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k
son continuas y tienen las derivadas parciales continuas ∂ P ∂ x ∂ P ∂ x (del P)/(del x)\frac{\partial P}{\partial x}∂P∂x, ∂ Q ∂ y ∂ Q ∂ y (del Q)/(del y)\frac{\partial Q}{\partial y}∂Q∂y, ∂ R ∂ z ∂ R ∂ z (del R)/(del z)\frac{\partial R}{\partial z}∂R∂z, entonces el flujo del vector a a a\mathbf{a}a a través de cualquier superficie cerrada parcialmente plana Σ Σ Sigma\SigmaΣ que se encuentra en el dominio G G GGG, es igual a la integral triple de ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z (del P)/(del x)+(del Q)/(del y)+(del R)/(del z)\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z por el dominio V V VVV limitado mediante la superficie Σ Σ Sigma\SigmaΣ:
(1) Π = ∬ Σ ( a , n 0 ) d σ = ∭ V ( ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z ) d v (1) Π = ∬ Σ   ( a , n 0 ) d σ = ∭ V   ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z d v {:(1)Pi=∬_(Sigma)(a","n^(0))d sigma=∭_(V)((del P)/(del x)+(del Q)/(del y)+(del R)/(del z))dv:}\Pi = \iint_{\Sigma} (\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) \, d\sigma = \iiint_V \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dv \tag{1}(1)Π=∬Σ(a,n0)dσ=∭V(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dv
(la fórmula de Gauss — Ostrogradski).
La normal n n n\mathbf{n}n a la superficie Σ Σ Sigma\SigmaΣ se toma exterior.
Ejemplo 1. Calcular el flujo del vector
a = x 2 i + y 2 j + z 2 k a = x 2 i + y 2 j + z 2 k a=x^(2)i+y^(2)j+z^(2)k\mathbf{a} = x^2 \mathbf{i} + y^2 \mathbf{j} + z^2 \mathbf{k}a=x2i+y2j+z2k
a través de la superficie cerrada
x 2 + y 2 + z 2 = R 2 , z = 0 ( z > 0 ) . x 2 + y 2 + z 2 = R 2 , z = 0 ( z > 0 ) . x^(2)+y^(2)+z^(2)=R^(2),quad z=0quad(z > 0).x^2 + y^2 + z^2 = R^2, \quad z = 0 \quad (z > 0).x2+y2+z2=R2,z=0(z>0).
Solución. Según la fórmula (1)
(2) Π = ∭ V ( 2 x + 2 y + 2 z ) d v . (2) Π = ∭ V   ( 2 x + 2 y + 2 z ) d v . {:(2)Pi=∭_(V)(2x+2y+2z)dv.:}\Pi = \iiint_V (2x + 2y + 2z) \, dv. \tag{2}(2)Π=∭V(2x+2y+2z)dv.
La integral (2) es muy cómodo calcularla en las coordenadas esféricas r , θ , φ r , θ , φ r,theta,varphir, \theta, \varphir,θ,φ. Tenemos
x = r sin ⁡ θ cos ⁡ φ , y = r sin ⁡ θ sin ⁡ φ , z = r cos ⁡ θ x = r sin ⁡ θ cos ⁡ φ , y = r sin ⁡ θ sin ⁡ φ , z = r cos ⁡ θ x=r sin theta cos varphi,quad y=r sin theta sin varphi,quad z=r cos thetax = r \sin \theta \cos \varphi, \quad y = r \sin \theta \sin \varphi, \quad z = r \cos \thetax=rsin⁡θcos⁡φ,y=rsin⁡θsin⁡φ,z=rcos⁡θ
y el elemento del volumen
d v = r 2 sin ⁡ θ d r d θ d φ . d v = r 2 sin ⁡ θ d r d θ d φ . dv=r^(2)sin thetadrd thetad varphi.dv = r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\varphi.dv=r2sin⁡θdrdθdφ.
Entonces
Π = 2 ∭ V ( r sin ⁡ θ cos ⁡ φ + r sin ⁡ θ sin ⁡ φ + r cos ⁡ θ ) r 2 sin ⁡ θ d r d θ d φ . Π = 2 ∭ V   ( r sin ⁡ θ cos ⁡ φ + r sin ⁡ θ sin ⁡ φ + r cos ⁡ θ ) r 2 sin ⁡ θ d r d θ d φ . Pi=2∭_(V)(r sin theta cos varphi+r sin theta sin varphi+r cos theta)r^(2)sin thetadrd thetad varphi.\Pi = 2 \iiint_V (r \sin \theta \cos \varphi + r \sin \theta \sin \varphi + r \cos \theta) r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\varphi.Π=2∭V(rsin⁡θcos⁡φ+rsin⁡θsin⁡φ+rcos⁡θ)r2sin⁡θdrdθdφ.
Integrando primero con respecto a r r rrr:
∫ 0 R r 3 d r = R 4 4 . ∫ 0 R   r 3 d r = R 4 4 . int_(0)^(R)r^(3)dr=(R^(4))/(4).\int_0^R r^3 \, dr = \frac{R^4}{4}.∫0Rr3dr=R44.
Luego con respecto a θ θ theta\thetaθ:
∫ 0 π / 2 sin 2 ⁡ θ d θ = π 4 . ∫ 0 π / 2   sin 2 ⁡ θ d θ = π 4 . int_(0)^(pi//2)sin^(2)thetad theta=(pi)/(4).\int_0^{\pi/2} \sin^2 \theta \, d\theta = \frac{\pi}{4}.∫0π/2sin2⁡θdθ=π4.
Finalmente, con respecto a φ φ varphi\varphiφ:
∫ 0 2 π ( cos ⁡ φ + sin ⁡ φ ) d φ = 0. ∫ 0 2 π   ( cos ⁡ φ + sin ⁡ φ ) d φ = 0. int_(0)^(2pi)(cos varphi+sin varphi)d varphi=0.\int_0^{2\pi} (\cos \varphi + \sin \varphi) \, d\varphi = 0.∫02π(cos⁡φ+sin⁡φ)dφ=0.
Por lo tanto,
Π = 2 ⋅ R 4 4 ⋅ π 4 ⋅ 0 = 0. Π = 2 ⋅ R 4 4 ⋅ π 4 ⋅ 0 = 0. Pi=2*(R^(4))/(4)*(pi)/(4)*0=0.\Pi = 2 \cdot \frac{R^4}{4} \cdot \frac{\pi}{4} \cdot 0 = 0.Π=2⋅R44⋅π4⋅0=0.
Ejemplo 2. Calcular el flujo del vector a = 4 x i − y j + z k a = 4 x i − y j + z k a=4xi-yj+zk\mathbf{a} = 4x \mathbf{i} - y \mathbf{j} + z \mathbf{k}a=4xi−yj+zk a través de la superficie del toro.
Solución. Utilizando el teorema de Gauss — Ostrogradski obtendremos que el flujo buscado Π Π Pi\PiΠ es igual a
Π = ∭ V ( ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z ) d v = 4 V , Π = ∭ V   ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z d v = 4 V , Pi=∭_(V)((del P)/(del x)+(del Q)/(del y)+(del R)/(del z))dv=4V,\Pi = \iiint_V \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dv = 4V,Π=∭V(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dv=4V,
donde V V VVV es el volumen del toro. Para calcular el volumen V V VVV conviene emplear el teorema de Gülden acerca del volumen del cuerpo de revolución según el cual este volumen es igual al producto del área de la figura que gira en la vía que describe el centro de masas de la misma durante la rotación.
Sea R 1 R 1 R_(1)R_1R1 y R 2 R 2 R_(2)R_2R2 los radios interior y exterior del toro (fig. 27). El área S S SSS del círculo que forma el toro durante su revolución, es igual a
S = π ( R 2 − R 1 2 ) 2 . S = π R 2 − R 1 2 2 . S=pi((R_(2)-R_(1))/(2))^(2).S = \pi \left( \frac{R_2 - R_1}{2} \right)^2.S=π(R2−R12)2.
La distancia de la vía que describe el centro de masas —el centro de este círculo— es la longitud l l lll de la circunferencia del radio R 1 + R 2 2 R 1 + R 2 2 (R_(1)+R_(2))/(2)\frac{R_1 + R_2}{2}R1+R22, es decir
l = 2 π R 1 + R 2 2 = π ( R 1 + R 2 ) . l = 2 π R 1 + R 2 2 = π ( R 1 + R 2 ) . l=2pi(R_(1)+R_(2))/(2)=pi(R_(1)+R_(2)).l = 2\pi \frac{R_1 + R_2}{2} = \pi (R_1 + R_2).l=2πR1+R22=π(R1+R2).
De tal modo, el volumen V V VVV del toro es igual a
V = π ( R 2 − R 1 2 ) 2 π ( R 2 + R 1 ) = π 2 4 ( R 2 − R 1 ) 2 ( R 2 + R 1 ) . V = π R 2 − R 1 2 2 π ( R 2 + R 1 ) = π 2 4 ( R 2 − R 1 ) 2 ( R 2 + R 1 ) . V=pi((R_(2)-R_(1))/(2))^(2)pi(R_(2)+R_(1))=(pi^(2))/(4)(R_(2)-R_(1))^(2)(R_(2)+R_(1)).V = \pi \left( \frac{R_2 - R_1}{2} \right)^2 \pi (R_2 + R_1) = \frac{\pi^2}{4} (R_2 - R_1)^2 (R_2 + R_1).V=π(R2−R12)2π(R2+R1)=π24(R2−R1)2(R2+R1).
El flujo buscado es igual a
Π = π 2 ( R 2 − R 1 ) 2 ( R 2 + R 1 ) . Π = π 2 ( R 2 − R 1 ) 2 ( R 2 + R 1 ) . Pi=pi^(2)(R_(2)-R_(1))^(2)(R_(2)+R_(1)).\Pi = \pi^2 (R_2 - R_1)^2 (R_2 + R_1).Π=π2(R2−R1)2(R2+R1).

§ 13. DIVERGENCIA DEL CAMPO VECTORIAL. CAMPO SOLENOIDAL

El concepto del flujo del vector a través de la superficie cerrada conduce al concepto de la divergencia del campo. Este concepto da alguna característica cuantitativa del campo en cada uno de sus puntos.
Sea M M MMM un punto a estudiar del campo. Vamos a rodearlo con la superficie Σ Σ Sigma\SigmaΣ de una forma arbitraria, por ejemplo, con una esfera del radio suficientemente pequeño. Sea V V VVV el espacio limitado por la superficie Σ Σ Sigma\SigmaΣ y su volumen sea V V VVV. Estudiemos la relación
(1) ∬ Σ ( a , n 0 ) d σ V . (1) ∬ Σ   ( a , n 0 ) d σ V . {:(1)(∬_(Sigma)(a,n^(0))d sigma)/(V).:}\frac{\iint_{\Sigma} (\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) \, d\sigma}{V}. \tag{1}(1)∬Σ(a,n0)dσV.
Definición 1. Si la relación (1) tiene el límite finito, cuando el espacio V V VVV se tiende al punto M M MMM, entonces este límite se lo llaman la divergencia del campo vectorial (la divergencia del vector a a a\mathbf{a}a) en el punto M M MMM y se designa con el símbolo div a ( M ) div a ( M ) "div"a(M)\text{div} \, \mathbf{a}(M)diva(M). Por lo que
(2) div a ( M ) = lim V → M ∬ Σ ( a , n 0 ) d σ V . (2) div a ( M ) = lim V → M   ∬ Σ   ( a , n 0 ) d σ V . {:(2)"div"a(M)=lim_(V rarr M)(∬_(Sigma)(a,n^(0))d sigma)/(V).:}\text{div} \, \mathbf{a}(M) = \lim_{V \to M} \frac{\iint_{\Sigma} (\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) \, d\sigma}{V}. \tag{2}(2)diva(M)=limV→M∬Σ(a,n0)dσV.
La fórmula (2) da la definición invariante de la divergencia. Esta definición significa que la divergencia del campo a a a\mathbf{a}a en el punto M M MMM es la densidad volumétrica del flujo del vector a a a\mathbf{a}a en este punto.
Los puntos M M MMM del campo vectorial a ( M ) a ( M ) a(M)\mathbf{a}(M)a(M), en los cuales div a > 0 div a > 0 "div"a > 0\text{div} \, \mathbf{a} > 0diva>0 se llaman fuentes, mientras que los puntos, en los cuales div a < 0 div a < 0 "div"a < 0\text{div} \, \mathbf{a} < 0diva<0 se llaman sumideros del campo vectorial.
La divergencia del campo vectorial es la función escalar de los puntos del campo.
Si las coordenadas del vector
a ( M ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k a ( M ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k a(M)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k\mathbf{a}(M) = P(x, y, z) \mathbf{i} + Q(x, y, z) \mathbf{j} + R(x, y, z) \mathbf{k}a(M)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k
tienen las derivadas parciales continuas ∂ P ∂ x ∂ P ∂ x (del P)/(del x)\frac{\partial P}{\partial x}∂P∂x, ∂ Q ∂ y ∂ Q ∂ y (del Q)/(del y)\frac{\partial Q}{\partial y}∂Q∂y, ∂ R ∂ z ∂ R ∂ z (del R)/(del z)\frac{\partial R}{\partial z}∂R∂z en el entorno del punto M ( x , y , z ) M ( x , y , z ) M(x,y,z)M(x, y, z)M(x,y,z), entonces, utilizando la definición invariante de la divergencia obtenemos del teorema de Gauss — Ostrogradski que
(3) div a = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z . (3) div a = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z . {:(3)"div"a=(del P)/(del x)+(del Q)/(del y)+(del R)/(del z).:}\text{div} \, \mathbf{a} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}. \tag{3}(3)diva=∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z.
Todos los valores en la fórmula (3) se consideran en el mismo punto M ( x , y , z ) M ( x , y , z ) M(x,y,z)M(x, y, z)M(x,y,z).
Empleando la fórmula (3) para la divergencia, se puede escribir el teorema de Gauss—Ostrogradski (véase el § 12) en la forma vectorial
(4) ∬ Σ ( a , n 0 ) d σ = ∭ V div a d v . (4) ∬ Σ   ( a , n 0 ) d σ = ∭ V   div a d v . {:(4)∬_(Sigma)(a","n^(0))d sigma=∭_(V)"div"adv.:}\iint_{\Sigma} (\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) \, d\sigma = \iiint_V \text{div} \, \mathbf{a} \, dv. \tag{4}(4)∬Σ(a,n0)dσ=∭Vdivadv.
Ejemplo 1. Aplicando la definición invariante calcular la divergencia del vector a = x i a = x i a=xi\mathbf{a} = x \mathbf{i}a=xi en el punto O ( 0 , 0 , 0 ) O ( 0 , 0 , 0 ) O(0,0,0)O(0, 0, 0)O(0,0,0) escogiendo en calidad de las superficies σ σ sigma\sigmaσ que rodean el punto O O OOO, las esferas σ ϵ σ ϵ sigma _(epsilon)\sigma_\epsilonσϵ del radio ϵ ϵ epsilon\epsilonϵ con el centro en este punto.
Solución. Según la definición de la divergencia en el punto dado tenemos
div a ( 0 ) = lim σ ϵ → 0 ∬ σ ϵ ( a , n 0 ) d σ V ϵ , div a ( 0 ) = lim σ ϵ → 0   ∬ σ ϵ   ( a , n 0 ) d σ V ϵ , "div"a(0)=lim_(sigma _(epsilon)rarr0)(∬_(sigma _(epsilon))(a,n^(0))d sigma)/(V_( epsilon)),\text{div} \, \mathbf{a}(0) = \lim_{\sigma_\epsilon \to 0} \frac{\iint_{\sigma_\epsilon} (\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) \, d\sigma}{V_\epsilon},diva(0)=limσϵ→0∬σϵ(a,n0)dσVϵ,
donde V ϵ V ϵ V_( epsilon)V_\epsilonVϵ es el volumen de la esfera limitada por la esfera σ ϵ σ ϵ sigma _(epsilon)\sigma_\epsilonσϵ, o
div a ( 0 ) = lim ϵ → 0 ∬ σ ϵ ( a , n 0 ) d σ 4 3 π ϵ 3 . div a ( 0 ) = lim ϵ → 0   ∬ σ ϵ   ( a , n 0 ) d σ 4 3 π ϵ 3 . "div"a(0)=lim_(epsilon rarr0)(∬_(sigma _(epsilon))(a,n^(0))d sigma)/((4)/(3)piepsilon^(3)).\text{div} \, \mathbf{a}(0) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\iint_{\sigma_\epsilon} (\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) \, d\sigma}{\frac{4}{3} \pi \epsilon^3}.diva(0)=limϵ→0∬σϵ(a,n0)dσ43πϵ3.
Pero puesto que el volumen de la esfera es igual a V ϵ = 4 3 π ϵ 3 V ϵ = 4 3 π ϵ 3 V_( epsilon)=(4)/(3)piepsilon^(3)V_\epsilon = \frac{4}{3} \pi \epsilon^3Vϵ=43πϵ3, entonces
div a ( 0 ) = lim ϵ → 0 ∬ σ ϵ ( a , n 0 ) d σ 4 3 π ϵ 3 . div a ( 0 ) = lim ϵ → 0   ∬ σ ϵ   ( a , n 0 ) d σ 4 3 π ϵ 3 . "div"a(0)=lim_(epsilon rarr0)(∬_(sigma _(epsilon))(a,n^(0))d sigma)/((4)/(3)piepsilon^(3)).\text{div} \, \mathbf{a}(0) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\iint_{\sigma_\epsilon} (\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) \, d\sigma}{\frac{4}{3} \pi \epsilon^3}.diva(0)=limϵ→0∬σϵ(a,n0)dσ43πϵ3.
Calculemos el flujo
∬ σ ϵ ( a , n 0 ) d σ ∬ σ ϵ   ( a , n 0 ) d σ ∬_(sigma _(epsilon))(a,n^(0))d sigma\iint_{\sigma_\epsilon} (\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) \, d\sigma∬σϵ(a,n0)dσ
del vector dado a través de la esfera σ ϵ σ ϵ sigma _(epsilon)\sigma_\epsilonσϵ. El versor de la normal n 0 n 0 n^(0)\mathbf{n}^0n0 a la esfera σ ϵ σ ϵ sigma _(epsilon)\sigma_\epsilonσϵ está dirigido por el radio de la esfera, debido a lo que se puede escribir:
n 0 = r 0 = r | r | = r ϵ , n 0 = r 0 = r | r | = r ϵ , n^(0)=r^(0)=(r)/(|r|)=(r)/(epsilon),\mathbf{n}^0 = \mathbf{r}^0 = \frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|} = \frac{\mathbf{r}}{\epsilon},n0=r0=r|r|=rϵ,
donde r 0 r 0 r^(0)\mathbf{r}^0r0 es el versor del radio-vector r = x i + y j + z k r = x i + y j + z k r=xi+yj+zk\mathbf{r} = x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k}r=xi+yj+zk, o
n 0 = x i + y j + z k ϵ . n 0 = x i + y j + z k ϵ . n^(0)=(xi+yj+zk)/(epsilon).\mathbf{n}^0 = \frac{x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k}}{\epsilon}.n0=xi+yj+zkϵ.
El flujo buscado será igual a
∬ σ ϵ ( a , n 0 ) d σ = ∬ σ ϵ x 2 ϵ d σ . ∬ σ ϵ   ( a , n 0 ) d σ = ∬ σ ϵ   x 2 ϵ d σ . ∬_(sigma _(epsilon))(a,n^(0))d sigma=∬_(sigma _(epsilon))(x^(2))/(epsilon)d sigma.\iint_{\sigma_\epsilon} (\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) \, d\sigma = \iint_{\sigma_\epsilon} \frac{x^2}{\epsilon} \, d\sigma.∬σϵ(a,n0)dσ=∬σϵx2ϵdσ.
Pasando a las coordenadas en la esfera σ ϵ σ ϵ sigma _(epsilon)\sigma_\epsilonσϵ
x = ϵ cos ⁡ φ sin ⁡ θ , y = ϵ sin ⁡ φ sin ⁡ θ , z = ϵ cos ⁡ θ , x = ϵ cos ⁡ φ sin ⁡ θ , y = ϵ sin ⁡ φ sin ⁡ θ , z = ϵ cos ⁡ θ , x=epsilon cos varphi sin theta,quad y=epsilon sin varphi sin theta,quad z=epsilon cos theta,x = \epsilon \cos \varphi \sin \theta, \quad y = \epsilon \sin \varphi \sin \theta, \quad z = \epsilon \cos \theta,x=ϵcos⁡φsin⁡θ,y=ϵsin⁡φsin⁡θ,z=ϵcos⁡θ,
obtenemos
∬ σ ϵ ( a , n 0 ) d σ = ∬ σ ϵ ϵ 2 cos 2 ⁡ φ sin 2 ⁡ θ ⋅ ϵ 2 sin ⁡ θ d φ d θ ϵ = ϵ 3 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ φ d φ ∫ 0 π sin 3 ⁡ θ d θ = 4 3 π ϵ 3 . ∬ σ ϵ   ( a , n 0 ) d σ = ∬ σ ϵ   ϵ 2 cos 2 ⁡ φ sin 2 ⁡ θ ⋅ ϵ 2 sin ⁡ θ d φ d θ ϵ = ϵ 3 ∫ 0 2 π   cos 2 ⁡ φ d φ ∫ 0 π   sin 3 ⁡ θ d θ = 4 3 π ϵ 3 . ∬_(sigma _(epsilon))(a,n^(0))d sigma=∬_(sigma _(epsilon))(epsilon^(2)cos^(2)varphisin^(2)theta*epsilon^(2)sin thetad varphid theta)/(epsilon)=epsilon^(3)int_(0)^(2pi)cos^(2)varphid varphiint_(0)^(pi)sin^(3)thetad theta=(4)/(3)piepsilon^(3).\iint_{\sigma_\epsilon} (\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) \, d\sigma = \iint_{\sigma_\epsilon} \frac{\epsilon^2 \cos^2 \varphi \sin^2 \theta \cdot \epsilon^2 \sin \theta \, d\varphi \, d\theta}{\epsilon} = \epsilon^3 \int_0^{2\pi} \cos^2 \varphi \, d\varphi \int_0^{\pi} \sin^3 \theta \, d\theta = \frac{4}{3} \pi \epsilon^3.∬σϵ(a,n0)dσ=∬σϵϵ2cos2⁡φsin2⁡θ⋅ϵ2sin⁡θdφdθϵ=ϵ3∫02πcos2⁡φdφ∫0πsin3⁡θdθ=43πϵ3.
Por consiguiente,
div a ( 0 ) = lim ϵ → 0 4 3 π ϵ 3 4 3 π ϵ 3 = 1. div a ( 0 ) = lim ϵ → 0   4 3 π ϵ 3 4 3 π ϵ 3 = 1. "div"a(0)=lim_(epsilon rarr0)((4)/(3)piepsilon^(3))/((4)/(3)piepsilon^(3))=1.\text{div} \, \mathbf{a}(0) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\frac{4}{3} \pi \epsilon^3}{\frac{4}{3} \pi \epsilon^3} = 1.diva(0)=limϵ→043πϵ343πϵ3=1.
Ejemplo 2. Calcular div r div r "div"r\text{div} \, \mathbf{r}divr.
Solución. Tenemos r = x i + y j + z k r = x i + y j + z k r=xi+yj+zk\mathbf{r} = x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k}r=xi+yj+zk, así que P = x P = x P=xP = xP=x, Q = y Q = y Q=yQ = yQ=y, R = z R = z R=zR = zR=z, por consiguiente, según la fórmula (3)
div r = ∂ x ∂ x + ∂ y ∂ y + ∂ z ∂ z = 3. div r = ∂ x ∂ x + ∂ y ∂ y + ∂ z ∂ z = 3. "div"r=(del x)/(del x)+(del y)/(del y)+(del z)/(del z)=3.\text{div} \, \mathbf{r} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 3.divr=∂x∂x+∂y∂y+∂z∂z=3.
Ejemplo 3. Calcular div ( u ⋅ a ) div ( u ⋅ a ) "div"(u*a)\text{div} \, (u \cdot \mathbf{a})div(u⋅a), donde u ( M ) u ( M ) u(M)u(M)u(M) es la función escalar, a ( M ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k a ( M ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k a(M)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k\mathbf{a}(M) = P(x, y, z) \mathbf{i} + Q(x, y, z) \mathbf{j} + R(x, y, z) \mathbf{k}a(M)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k es la función vectorial.
Solución. Utilizando la fórmula (3), hallamos
div ( u a ) = ∂ ( u P ) ∂ x + ∂ ( u Q ) ∂ y + ∂ ( u R ) ∂ z = u ∂ P ∂ x + P ∂ u ∂ x + u ∂ Q ∂ y + Q ∂ u ∂ y + u ∂ R ∂ z + R ∂ u ∂ z . div ( u a ) = ∂ ( u P ) ∂ x + ∂ ( u Q ) ∂ y + ∂ ( u R ) ∂ z = u ∂ P ∂ x + P ∂ u ∂ x + u ∂ Q ∂ y + Q ∂ u ∂ y + u ∂ R ∂ z + R ∂ u ∂ z . "div"(ua)=(del(uP))/(del x)+(del(uQ))/(del y)+(del(uR))/(del z)=u(del P)/(del x)+P(del u)/(del x)+u(del Q)/(del y)+Q(del u)/(del y)+u(del R)/(del z)+R(del u)/(del z).\text{div} \, (u \mathbf{a}) = \frac{\partial (u P)}{\partial x} + \frac{\partial (u Q)}{\partial y} + \frac{\partial (u R)}{\partial z} = u \frac{\partial P}{\partial x} + P \frac{\partial u}{\partial x} + u \frac{\partial Q}{\partial y} + Q \frac{\partial u}{\partial y} + u \frac{\partial R}{\partial z} + R \frac{\partial u}{\partial z}.div(ua)=∂(uP)∂x+∂(uQ)∂y+∂(uR)∂z=u∂P∂x+P∂u∂x+u∂Q∂y+Q∂u∂y+u∂R∂z+R∂u∂z.
Agrupando términos:
div ( u a ) = u ( ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z ) + P ∂ u ∂ x + Q ∂ u ∂ y + R ∂ u ∂ z . div ( u a ) = u ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z + P ∂ u ∂ x + Q ∂ u ∂ y + R ∂ u ∂ z . "div"(ua)=u((del P)/(del x)+(del Q)/(del y)+(del R)/(del z))+P(del u)/(del x)+Q(del u)/(del y)+R(del u)/(del z).\text{div} \, (u \mathbf{a}) = u \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) + P \frac{\partial u}{\partial x} + Q \frac{\partial u}{\partial y} + R \frac{\partial u}{\partial z}.div(ua)=u(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)+P∂u∂x+Q∂u∂y+R∂u∂z.
Por lo tanto,
(5) div ( u a ) = u ⋅ div a + ( a , grad u ) . (5) div ( u a ) = u ⋅ div a + ( a , grad u ) . {:(5)"div"(ua)=u*"div"a+(a",""grad"u).:}\text{div} \, (u \mathbf{a}) = u \cdot \text{div} \, \mathbf{a} + (\mathbf{a}, \text{grad} \, u). \tag{5}(5)div(ua)=u⋅diva+(a,gradu).
Ejemplo 4. Hallar la divergencia del vector
a = φ ( r ) r 0 = φ ( r ) r r , a = φ ( r ) r 0 = φ ( r ) r r , a=varphi(r)r^(0)=(varphi(r))/(r)r,\mathbf{a} = \varphi(r) \mathbf{r}^0 = \frac{\varphi(r)}{r} \mathbf{r},a=φ(r)r0=φ(r)rr,
donde r = | r | r = | r | r=|r|r = |\mathbf{r}|r=|r| es la distancia del origen de coordenadas hasta el punto variable M ( x , y , z ) M ( x , y , z ) M(x,y,z)M(x, y, z)M(x,y,z).
Solución. Mediante la fórmula (5) obtendremos
div a = φ ( r ) r div r + ( r , grad φ ( r ) r ) . div a = φ ( r ) r div r + r , grad φ ( r ) r . "div"a=(varphi(r))/(r)"div"r+(r,"grad"(varphi(r))/(r)).\text{div} \, \mathbf{a} = \frac{\varphi(r)}{r} \text{div} \, \mathbf{r} + \left( \mathbf{r}, \text{grad} \, \frac{\varphi(r)}{r} \right).diva=φ(r)rdivr+(r,gradφ(r)r).
En seguida,
div r = 3 , grad φ ( r ) r = ( φ ( r ) r ) ′ grad r = r φ ′ ( r ) − φ ( r ) r 2 r 0 . div r = 3 , grad φ ( r ) r = φ ( r ) r ′ grad r = r φ ′ ( r ) − φ ( r ) r 2 r 0 . "div"r=3,quad"grad"(varphi(r))/(r)=((varphi(r))/(r))^(')"grad"r=(rvarphi^(')(r)-varphi(r))/(r^(2))r^(0).\text{div} \, \mathbf{r} = 3, \quad \text{grad} \, \frac{\varphi(r)}{r} = \left( \frac{\varphi(r)}{r} \right)' \text{grad} \, r = \frac{r \varphi'(r) - \varphi(r)}{r^2} \mathbf{r}^0.divr=3,gradφ(r)r=(φ(r)r)′gradr=rφ′(r)−φ(r)r2r0.
Por eso
div a = φ ( r ) r ⋅ 3 + ( r φ ′ ( r ) − φ ( r ) r 2 r 0 , r ) = 3 φ ( r ) r + r φ ′ ( r ) − φ ( r ) r = 2 φ ( r ) r + φ ′ ( r ) . div a = φ ( r ) r ⋅ 3 + r φ ′ ( r ) − φ ( r ) r 2 r 0 , r = 3 φ ( r ) r + r φ ′ ( r ) − φ ( r ) r = 2 φ ( r ) r + φ ′ ( r ) . "div"a=(varphi(r))/(r)*3+((rvarphi^(')(r)-varphi(r))/(r^(2))r^(0),r)=3(varphi(r))/(r)+(rvarphi^(')(r)-varphi(r))/(r)=2(varphi(r))/(r)+varphi^(')(r).\text{div} \, \mathbf{a} = \frac{\varphi(r)}{r} \cdot 3 + \left( \frac{r \varphi'(r) - \varphi(r)}{r^2} \mathbf{r}^0, \mathbf{r} \right) = 3 \frac{\varphi(r)}{r} + \frac{r \varphi'(r) - \varphi(r)}{r} = 2 \frac{\varphi(r)}{r} + \varphi'(r).diva=φ(r)r⋅3+(rφ′(r)−φ(r)r2r0,r)=3φ(r)r+rφ′(r)−φ(r)r=2φ(r)r+φ′(r).

CAMPO SOLENOIDAL (TUBULAR)

Definición. Si en todos los puntos M M MMM de cierto dominio G G GGG la divergencia del campo vectorial (prefijado en el dominio G G GGG) es igual a cero
div a ( M ) = 0 , div a ( M ) = 0 , "div"a(M)=0,\text{div} \, \mathbf{a}(M) = 0,diva(M)=0,
entonces se dice que el campo es solenoidal en este dominio.
De tal modo, según la definición, el campo solenoidal no tiene fuentes ni sumideros.
Del teorema de Gauss-Ostrogradski sigue que en el campo solenoidal el flujo del vector a = a ( M ) a = a ( M ) a=a(M)\mathbf{a} = \mathbf{a}(M)a=a(M) a través de toda superficie cerrada σ σ sigma\sigmaσ que se encuentra en este campo es igual a cero
∬ σ ( a , n 0 ) d σ = 0. ∬ σ   ( a , n 0 ) d σ = 0. ∬_(sigma)(a,n^(0))d sigma=0.\iint_{\sigma} (\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) \, d\sigma = 0.∬σ(a,n0)dσ=0.
En el campo solenoidal G G GGG las líneas vectoriales no pueden empezarse ni terminarse. Ellas pueden ser las curvas cerradas o pueden tener sus extremos en el límite del campo.
La ecuación
div a ( M ) = 0 div a ( M ) = 0 "div"a(M)=0\text{div} \, \mathbf{a}(M) = 0diva(M)=0
se llama en hidrodinámica ecuación de la continuidad del líquido incompresible.
En este caso la cantidad del líquido que sale a través de alguna superficie cerrada σ σ sigma\sigmaσ, siempre es igual a la cantidad del líquido entrante y el flujo completo es igual a cero.
¿Cuáles de los siguientes campos vectoriales son solenoidales?
  1. a = x ( z 2 − y 2 ) i + y ( x 2 − z 2 ) j + z ( y 2 − x 2 ) k a = x ( z 2 − y 2 ) i + y ( x 2 − z 2 ) j + z ( y 2 − x 2 ) k a=x(z^(2)-y^(2))i+y(x^(2)-z^(2))j+z(y^(2)-x^(2))k\mathbf{a} = x (z^2 - y^2) \mathbf{i} + y (x^2 - z^2) \mathbf{j} + z (y^2 - x^2) \mathbf{k}a=x(z2−y2)i+y(x2−z2)j+z(y2−x2)k.
  2. a = y 2 i − ( x 2 + y 3 ) j + z ( 3 y 2 + 1 ) k a = y 2 i − ( x 2 + y 3 ) j + z ( 3 y 2 + 1 ) k a=y^(2)i-(x^(2)+y^(3))j+z(3y^(2)+1)k\mathbf{a} = y^2 \mathbf{i} - (x^2 + y^3) \mathbf{j} + z (3y^2 + 1) \mathbf{k}a=y2i−(x2+y3)j+z(3y2+1)k.
  3. a = ( 1 + 2 x y ) i − y 2 z j + ( z 2 y − 2 z y + 1 ) k a = ( 1 + 2 x y ) i − y 2 z j + ( z 2 y − 2 z y + 1 ) k a=(1+2xy)i-y^(2)zj+(z^(2)y-2zy+1)k\mathbf{a} = (1 + 2xy) \mathbf{i} - y^2 z \mathbf{j} + (z^2 y - 2zy + 1) \mathbf{k}a=(1+2xy)i−y2zj+(z2y−2zy+1)k.
  4. Mostrar que el campo del vector
E = q r 2 r 0 ( r = x 2 + y 2 + z 2 ) E = q r 2 r 0 ( r = x 2 + y 2 + z 2 ) E=(q)/(r^(2))r^(0)quad(r=sqrt(x^(2)+y^(2)+z^(2)))\mathbf{E} = \frac{q}{r^2} \mathbf{r}^0 \quad (r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2})E=qr2r0(r=x2+y2+z2)
es solenoidal en toda región que no contiene el origen de las coordenadas O ( 0 , 0 , 0 ) O ( 0 , 0 , 0 ) O(0,0,0)O(0, 0, 0)O(0,0,0).
159. ¿Para qué condición el campo vectorial a = φ ( r ) r a = φ ( r ) r a=varphi(r)r\mathbf{a} = \varphi(r) \mathbf{r}a=φ(r)r será solenoidal?
Dado que tenemos el campo del vector a ( M ) a ( M ) a(M)\mathbf{a}(M)a(M) (que no es obligatoriamente solenoidal). Examinemos en el campo un contorno orientado cerrado L L LLL. La superficie Σ Σ Sigma\SigmaΣ que está limitada por la línea L L LLL, la llamamos superficie que está tendida sobre el contorno L L LLL.
Conviene orientar la normal n n n\mathbf{n}n a la superficie Σ Σ Sigma\SigmaΣ de tal modo que del extremo de la normal el elegido recorrido del contorno L L LLL sea visto realizando el movimiento en el sentido antihorario (fig. 29).
160. Demostrar que en el campo solenoidal el flujo del vector a ( M ) a ( M ) a(M)\mathbf{a}(M)a(M) no depende del tipo de la superficie Σ Σ Sigma\SigmaΣ que está tendida sobre el contorno L L LLL y sólo depende del mismo contorno.

§ 14. INTEGRAL LINEAL EN EL CAMPO VECTORIAL. CIRCULACIÓN DEL CAMPO VECTORIAL

Sean dados el campo vectorial continuo a = a ( M ) a = a ( M ) a=a(M)\mathbf{a} = \mathbf{a}(M)a=a(M) y una curva L L LLL parcialmente plana, en la cual está elegida la dirección positiva (curva orientada).
Definición 1. La integral lineal del vector a = a ( M ) a = a ( M ) a=a(M)\mathbf{a} = \mathbf{a}(M)a=a(M) a lo largo de la curva orientada L L LLL es la integral curvilínea del primer género (la integral por longitud del arco de la curva) del producto escalar ( a , τ 0 ) ( a , τ 0 ) (a,tau^(0))(\mathbf{a}, \boldsymbol{\tau}^0)(a,τ0)
∫ L ( a , τ 0 ) d s , ∫ L   ( a , τ 0 ) d s , int _(L)(a,tau^(0))ds,\int_L (\mathbf{a}, \boldsymbol{\tau}^0) \, ds,∫L(a,τ0)ds,
donde τ 0 = τ 0 ( M ) τ 0 = τ 0 ( M ) tau^(0)=tau^(0)(M)\boldsymbol{\tau}^0 = \boldsymbol{\tau}^0(M)τ0=τ0(M) es el versor del vector tangente a la línea L L LLL, la orientación del cual coincide con la orientación de L L LLL; d s d s dsdsds es la diferencial de la longitud del arco s s sss de la curva L L LLL.
Si r = r ( M ) r = r ( M ) r=r(M)\mathbf{r} = \mathbf{r}(M)r=r(M) es el radio vector de un punto arbitrario M M MMM de la línea L L LLL, entonces la integral lineal en el campo a ( M ) a ( M ) a(M)\mathbf{a}(M)a(M) se puede escribir en la forma siguiente:
∫ L ( a , τ 0 ) d s = ∫ L ( a , d r ) . ∫ L   ( a , τ 0 ) d s = ∫ L   ( a , d r ) . int _(L)(a,tau^(0))ds=int _(L)(a,dr).\int_L (\mathbf{a}, \boldsymbol{\tau}^0) \, ds = \int_L (\mathbf{a}, d\mathbf{r}).∫L(a,τ0)ds=∫L(a,dr).
Si en el campo vectorial está introducido el sistema rectangular de coordenadas O x y z O x y z OxyzOxyzOxyz, entonces r = x i + y j + z k r = x i + y j + z k r=xi+yj+zk\mathbf{r} = x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k}r=xi+yj+zk,
a = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k , a = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k , a=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k,\mathbf{a} = P(x, y, z) \mathbf{i} + Q(x, y, z) \mathbf{j} + R(x, y, z) \mathbf{k},a=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k,
y la integral lineal (1) se expresará a través de la integral curvilínea del segundo género
∫ L ( a , d r ) = ∫ L P ( x , y , z ) d x + Q ( x , y , z ) d y + R ( x , y , z ) d z . ∫ L   ( a , d r ) = ∫ L   P ( x , y , z ) d x + Q ( x , y , z ) d y + R ( x , y , z ) d z . int _(L)(a,dr)=int _(L)P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz.\int_L (\mathbf{a}, d\mathbf{r}) = \int_L P(x, y, z) \, dx + Q(x, y, z) \, dy + R(x, y, z) \, dz.∫L(a,dr)=∫LP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz.
En el caso cuando a = a ( M ) a = a ( M ) a=a(M)\mathbf{a} = \mathbf{a}(M)a=a(M) es el campo de fuerzas, la integral lineal (1) da la magnitud del trabajo de este campo a lo largo de la línea L L LLL.
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL LINEAL
a) Linealidad:
∫ L ( λ a 1 + μ a 2 , d r ) = λ ∫ L ( a 1 , d r ) + μ ∫ L ( a 2 , d r ) , ∫ L   ( λ a 1 + μ a 2 , d r ) = λ ∫ L   ( a 1 , d r ) + μ ∫ L   ( a 2 , d r ) , int _(L)(lambdaa_(1)+mua_(2),dr)=lambdaint _(L)(a_(1),dr)+muint _(L)(a_(2),dr),\int_L (\lambda \mathbf{a}_1 + \mu \mathbf{a}_2, d\mathbf{r}) = \lambda \int_L (\mathbf{a}_1, d\mathbf{r}) + \mu \int_L (\mathbf{a}_2, d\mathbf{r}),∫L(λa1+μa2,dr)=λ∫L(a1,dr)+μ∫L(a2,dr),
donde λ λ lambda\lambdaλ, μ μ mu\muμ son los números constantes.
b) Aditividad:
∫ L 1 + L 2 ( a , d r ) = ∫ L 1 ( a , d r ) + ∫ L 2 ( a , d r ) . ∫ L 1 + L 2   ( a , d r ) = ∫ L 1   ( a , d r ) + ∫ L 2   ( a , d r ) . int_(L_(1)+L_(2))(a,dr)=int_(L_(1))(a,dr)+int_(L_(2))(a,dr).\int_{L_1 + L_2} (\mathbf{a}, d\mathbf{r}) = \int_{L_1} (\mathbf{a}, d\mathbf{r}) + \int_{L_2} (\mathbf{a}, d\mathbf{r}).∫L1+L2(a,dr)=∫L1(a,dr)+∫L2(a,dr).
c) Con el cambio de la orientación de la línea L L LLL la integral cambia el signo
∫ B A ( a , d r ) = − ∫ A B ( a , d r ) , ∫ B A   ( a , d r ) = − ∫ A B   ( a , d r ) , int_(BA)(a,dr)=-int_(AB)(a,dr),\int_{BA} (\mathbf{a}, d\mathbf{r}) = - \int_{AB} (\mathbf{a}, d\mathbf{r}),∫BA(a,dr)=−∫AB(a,dr),
donde A A AAA es el punto inicial y B B BBB es el punto final de la línea L L LLL.
CÁLCULO DE LA INTEGRAL LINEAL EN EL CAMPO VECTORIAL
Sea la línea L L LLL prefijada por las ecuaciones paramétricas
x = φ ( t ) , y = ψ ( t ) , z = χ ( t ) , t 0 ≤ t ≤ t 1 , x = φ ( t ) , y = ψ ( t ) , z = χ ( t ) , t 0 ≤ t ≤ t 1 , x=varphi(t),quad y=psi(t),quad z=chi(t),quadt_(0) <= t <= t_(1),x = \varphi(t), \quad y = \psi(t), \quad z = \chi(t), \quad t_0 \leq t \leq t_1,x=φ(t),y=ψ(t),z=χ(t),t0≤t≤t1,
al mismo tiempo en el punto inicial A A AAA de la línea L L LLL el parámetro t t ttt toma el valor t = t 0 t = t 0 t=t_(0)t = t_0t=t0, y en el punto final B B BBB de la línea L L LLL obtiene el valor t = t 1 t = t 1 t=t_(1)t = t_1t=t1 (la dirección en la línea L L LLL corresponde al incremento del parámetro t t ttt desde t 0 t 0 t_(0)t_0t0 hasta t 1 t 1 t_(1)t_1t1); las funciones φ ( t ) , ψ ( t ) , χ ( t ) φ ( t ) , ψ ( t ) , χ ( t ) varphi(t),psi(t),chi(t)\varphi(t), \psi(t), \chi(t)φ(t),ψ(t),χ(t) tienen las derivadas continuas en el segmento [ t 0 , t 1 ] [ t 0 , t 1 ] [t_(0),t_(1)][t_0, t_1][t0,t1]. Entonces
∫ L ( a , d r ) = ∫ A B ( a , d r ) = ∫ t 0 t 1 { P [ φ ( t ) , ψ ( t ) , χ ( t ) ] φ ′ ( t ) + Q [ φ ( t ) , ψ ( t ) , χ ( t ) ] ψ ′ ( t ) + R [ φ ( t ) , ψ ( t ) , χ ( t ) ] χ ′ ( t ) } d t . ∫ L   ( a , d r ) = ∫ A B   ( a , d r ) = ∫ t 0 t 1   P [ φ ( t ) , ψ ( t ) , χ ( t ) ] φ ′ ( t ) + Q [ φ ( t ) , ψ ( t ) , χ ( t ) ] ψ ′ ( t ) + R [ φ ( t ) , ψ ( t ) , χ ( t ) ] χ ′ ( t ) d t . int _(L)(a,dr)=int_(AB)(a,dr)=int_(t_(0))^(t_(1)){P[varphi(t),psi(t),chi(t)]varphi^(')(t)+Q[varphi(t),psi(t),chi(t)]psi^(')(t)+R[varphi(t),psi(t),chi(t)]chi^(')(t)}dt.\int_L (\mathbf{a}, d\mathbf{r}) = \int_{AB} (\mathbf{a}, d\mathbf{r}) = \int_{t_0}^{t_1} \left\{ P [\varphi(t), \psi(t), \chi(t)] \varphi'(t) + Q [\varphi(t), \psi(t), \chi(t)] \psi'(t) + R [\varphi(t), \psi(t), \chi(t)] \chi'(t) \right\} dt.∫L(a,dr)=∫AB(a,dr)=∫t0t1{P[φ(t),ψ(t),χ(t)]φ′(t)+Q[φ(t),ψ(t),χ(t)]ψ′(t)+R[φ(t),ψ(t),χ(t)]χ′(t)}dt.
Si la línea L L LLL está prefijada por el sistema de ecuaciones y = ψ ( x ) y = ψ ( x ) y=psi(x)y = \psi(x)y=ψ(x), z = χ ( x ) z = χ ( x ) z=chi(x)z = \chi(x)z=χ(x), a ≤ x ≤ b a ≤ x ≤ b a <= x <= ba \leq x \leq ba≤x≤b, entonces
∫ A B ( a , d r ) = ∫ a b { P [ x , ψ ( x ) , χ ( x ) ] + Q [ x , ψ ( x ) , χ ( x ) ] ψ ′ ( x ) + R [ x , ψ ( x ) , χ ( x ) ] χ ′ ( x ) } d x . ∫ A B   ( a , d r ) = ∫ a b   P [ x , ψ ( x ) , χ ( x ) ] + Q [ x , ψ ( x ) , χ ( x ) ] ψ ′ ( x ) + R [ x , ψ ( x ) , χ ( x ) ] χ ′ ( x ) d x . int_(AB)(a,dr)=int_(a)^(b){P[x,psi(x),chi(x)]+Q[x,psi(x),chi(x)]psi^(')(x)+R[x,psi(x),chi(x)]chi^(')(x)}dx.\int_{AB} (\mathbf{a}, d\mathbf{r}) = \int_a^b \left\{ P [x, \psi(x), \chi(x)] + Q [x, \psi(x), \chi(x)] \psi'(x) + R [x, \psi(x), \chi(x)] \chi'(x) \right\} dx.∫AB(a,dr)=∫ab{P[x,ψ(x),χ(x)]+Q[x,ψ(x),χ(x)]ψ′(x)+R[x,ψ(x),χ(x)]χ′(x)}dx.
Las fórmulas análogas pueden escribirse también para aquellos casos, cuando la línea se prefija con uno de los siguientes sistemas de ecuaciones:
x = φ ( y ) , z = χ ( y ) ( y 0 ≤ y ≤ y 1 ) x = φ ( y ) , z = χ ( y ) ( y 0 ≤ y ≤ y 1 ) x=varphi(y),quad z=chi(y)quad(y_(0) <= y <= y_(1))x = \varphi(y), \quad z = \chi(y) \quad (y_0 \leq y \leq y_1)x=φ(y),z=χ(y)(y0≤y≤y1)
o
x = φ ( z ) , y = ψ ( z ) ( z 0 ≤ z ≤ z 1 ) . x = φ ( z ) , y = ψ ( z ) ( z 0 ≤ z ≤ z 1 ) . x=varphi(z),quad y=psi(z)quad(z_(0) <= z <= z_(1)).x = \varphi(z), \quad y = \psi(z) \quad (z_0 \leq z \leq z_1).x=φ(z),y=ψ(z)(z0≤z≤z1).
Ejemplo 1. Hallar la integral lineal del vector a = r | r | a = r | r | a=(r)/(|r|)\mathbf{a} = \frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}a=r|r|, donde r r r\mathbf{r}r es el radio vector a lo largo del segmento de la recta del punto A ( r A ) A ( r A ) A(r_(A))A(\mathbf{r}_A)A(rA) hasta el punto B ( r B ) B ( r B ) B(r_(B))B(\mathbf{r}_B)B(rB).
Solución. La integral lineal incógnita será
(1) ∫ A B ( a , d r ) = ∫ A B ( r , d r ) | r | . (1) ∫ A B   ( a , d r ) = ∫ A B   ( r , d r ) | r | . {:(1)int_(AB)(a","dr)=int_(AB)((r,dr))/(|r|).:}\int_{AB} (\mathbf{a}, d\mathbf{r}) = \int_{AB} \frac{(\mathbf{r}, d\mathbf{r})}{|\mathbf{r}|}. \tag{1}(1)∫AB(a,dr)=∫AB(r,dr)|r|.
De la igualdad
d ( r , r ) = ( d r , r ) + ( r , d r ) = 2 ( r , d r ) d ( r , r ) = ( d r , r ) + ( r , d r ) = 2 ( r , d r ) d(r,r)=(dr,r)+(r,dr)=2(r,dr)d(\mathbf{r}, \mathbf{r}) = (d\mathbf{r}, \mathbf{r}) + (\mathbf{r}, d\mathbf{r}) = 2(\mathbf{r}, d\mathbf{r})d(r,r)=(dr,r)+(r,dr)=2(r,dr)
hallamos
( r , d r ) = 1 2 d ( r , r ) = 1 2 d ( | r | 2 ) = 1 2 ⋅ 2 | r | d | r | = | r | d | r | . ( r , d r ) = 1 2 d ( r , r ) = 1 2 d ( | r | 2 ) = 1 2 ⋅ 2 | r | d | r | = | r | d | r | . (r,dr)=(1)/(2)d(r,r)=(1)/(2)d(|r|^(2))=(1)/(2)*2|r|d|r|=|r|d|r|.(\mathbf{r}, d\mathbf{r}) = \frac{1}{2} d(\mathbf{r}, \mathbf{r}) = \frac{1}{2} d(|\mathbf{r}|^2) = \frac{1}{2} \cdot 2 |\mathbf{r}| d|\mathbf{r}| = |\mathbf{r}| d|\mathbf{r}|.(r,dr)=12d(r,r)=12d(|r|2)=12⋅2|r|d|r|=|r|d|r|.
De aquí
(2) ( r , d r ) | r | = d | r | . (2) ( r , d r ) | r | = d | r | . {:(2)((r,dr))/(|r|)=d|r|.:}\frac{(\mathbf{r}, d\mathbf{r})}{|\mathbf{r}|} = d|\mathbf{r}|. \tag{2}(2)(r,dr)|r|=d|r|.
Sustituyendo (2) en la integral (1) obtendremos
∫ A B ( a , d r ) = ∫ A B d | r | = ∫ r A r B d | r | = | r B | − | r A | . ∫ A B   ( a , d r ) = ∫ A B   d | r | = ∫ r A r B   d | r | = | r B | − | r A | . int_(AB)(a,dr)=int_(AB)d|r|=int_(r_(A))^(r_(B))d|r|=|r_(B)|-|r_(A)|.\int_{AB} (\mathbf{a}, d\mathbf{r}) = \int_{AB} d|\mathbf{r}| = \int_{\mathbf{r}_A}^{\mathbf{r}_B} d|\mathbf{r}| = |\mathbf{r}_B| - |\mathbf{r}_A|.∫AB(a,dr)=∫ABd|r|=∫rArBd|r|=|rB|−|rA|.
Ejemplo 2. Hallar la integral lineal del vector
a = z i + x j + y k a = z i + x j + y k a=zi+xj+yk\mathbf{a} = z \mathbf{i} + x \mathbf{j} + y \mathbf{k}a=zi+xj+yk
a lo largo del arco L L LLL de la línea helicoidal
x = R cos ⁡ t , y = R sin ⁡ t , z = t 2 π x = R cos ⁡ t , y = R sin ⁡ t , z = t 2 π x=R cos t,quad y=R sin t,quad z=(t)/(2pi)x = R \cos t, \quad y = R \sin t, \quad z = \frac{t}{2\pi}x=Rcos⁡t,y=Rsin⁡t,z=t2π
del punto A A AAA de la intersección de la línea con el plano z = 0 z = 0 z=0z = 0z=0 hasta el punto B B BBB de la intersección con el plano z = 1 z = 1 z=1z = 1z=1 (fig. 30).
Solución. La integral lineal en el ejemplo dado tiene la forma
∫ L ( a , d r ) = ∫ L z d x + x d y + y d z . ∫ L   ( a , d r ) = ∫ L   z d x + x d y + y d z . int _(L)(a,dr)=int _(L)zdx+xdy+ydz.\int_L (\mathbf{a}, d\mathbf{r}) = \int_L z \, dx + x \, dy + y \, dz.∫L(a,dr)=∫Lzdx+xdy+ydz.
La línea helicoidal se encuentra en el cilindro circular x 2 + y 2 = R 2 x 2 + y 2 = R 2 x^(2)+y^(2)=R^(2)x^2 + y^2 = R^2x2+y2=R2. En el punto A A AAA tenemos t 0 = 0 t 0 = 0 t_(0)=0t_0 = 0t0=0, en el punto B B BBB tenemos t 1 = 2 π t 1 = 2 π t_(1)=2pit_1 = 2\pit1=2π. Puesto que
d x = − R sin ⁡ t d t , d y = R cos ⁡ t d t , d z = d t 2 π , d x = − R sin ⁡ t d t , d y = R cos ⁡ t d t , d z = d t 2 π , dx=-R sin tdt,quad dy=R cos tdt,quad dz=(dt)/(2pi),dx = -R \sin t \, dt, \quad dy = R \cos t \, dt, \quad dz = \frac{dt}{2\pi},dx=−Rsin⁡tdt,dy=Rcos⁡tdt,dz=dt2π,
entonces la integral será igual a
∫ L ( a , d r ) = ∫ 0 2 π ( − t 2 π R sin ⁡ t + R 2 cos 2 ⁡ t + R 2 π sin ⁡ t ) d t = R 2 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t d t − R 2 π ∫ 0 2 π t sin ⁡ t d t . ∫ L   ( a , d r ) = ∫ 0 2 π   − t 2 π R sin ⁡ t + R 2 cos 2 ⁡ t + R 2 π sin ⁡ t d t = R 2 ∫ 0 2 π   cos 2 ⁡ t d t − R 2 π ∫ 0 2 π   t sin ⁡ t d t . int _(L)(a,dr)=int_(0)^(2pi)(-(t)/(2pi)R sin t+R^(2)cos^(2)t+(R)/(2pi)sin t)dt=R^(2)int_(0)^(2pi)cos^(2)tdt-(R)/(2pi)int_(0)^(2pi)t sin tdt.\int_L (\mathbf{a}, d\mathbf{r}) = \int_0^{2\pi} \left( -\frac{t}{2\pi} R \sin t + R^2 \cos^2 t + \frac{R}{2\pi} \sin t \right) dt = R^2 \int_0^{2\pi} \cos^2 t \, dt - \frac{R}{2\pi} \int_0^{2\pi} t \sin t \, dt.∫L(a,dr)=∫02π(−t2πRsin⁡t+R2cos2⁡t+R2πsin⁡t)dt=R2∫02πcos2⁡tdt−R2π∫02πtsin⁡tdt.
Sabemos que
∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t d t = π , ∫ 0 2 π   cos 2 ⁡ t d t = π , int_(0)^(2pi)cos^(2)tdt=pi,\int_0^{2\pi} \cos^2 t \, dt = \pi,∫02πcos2⁡tdt=π,
y
∫ 0 2 π t sin ⁡ t d t = − 2 π . ∫ 0 2 π   t sin ⁡ t d t = − 2 π . int_(0)^(2pi)t sin tdt=-2pi.\int_0^{2\pi} t \sin t \, dt = -2\pi.∫02πtsin⁡tdt=−2π.
Por lo tanto,
∫ L ( a , d r ) = R 2 ⋅ π − R 2 π ⋅ ( − 2 π ) = π R 2 + R . ∫ L   ( a , d r ) = R 2 ⋅ π − R 2 π ⋅ ( − 2 π ) = π R 2 + R . int _(L)(a,dr)=R^(2)*pi-(R)/(2pi)*(-2pi)=piR^(2)+R.\int_L (\mathbf{a}, d\mathbf{r}) = R^2 \cdot \pi - \frac{R}{2\pi} \cdot (-2\pi) = \pi R^2 + R.∫L(a,dr)=R2⋅π−R2π⋅(−2π)=πR2+R.
Ejemplo 3. Hallar la integral lineal del vector (véase el ejemplo 2)
a = z i + x j + y k a = z i + x j + y k a=zi+xj+yk\mathbf{a} = z \mathbf{i} + x \mathbf{j} + y \mathbf{k}a=zi+xj+yk
a lo largo de la recta A B A B ABABAB (véase la fig. 30) en dirección del punto A A AAA al punto B B BBB.
Solución. Puesto que la recta A B A B ABABAB (generatriz del cilindro x 2 + y 2 = R 2 x 2 + y 2 = R 2 x^(2)+y^(2)=R^(2)x^2 + y^2 = R^2x2+y2=R2) se encuentra en el plano x O z x O z xOzxOzxOz y pasa a través del punto A ( R , 0 , 0 ) A ( R , 0 , 0 ) A(R,0,0)A (R, 0, 0)A(R,0,0), entonces y = 0 y = 0 y=0y = 0y=0, x = R x = R x=Rx = Rx=R, d x = 0 d x = 0 dx=0dx = 0dx=0 y para el radio vector r r r\mathbf{r}r de los puntos de la recta A B A B ABABAB tendremos r = R i + z k r = R i + z k r=Ri+zk\mathbf{r} = R \mathbf{i} + z \mathbf{k}r=Ri+zk, d r = k ⋅ d z d r = k ⋅ d z dr=k*dzd\mathbf{r} = \mathbf{k} \cdot dzdr=k⋅dz. Por eso el producto escalar
( a , d r ) = z d x + x d y + y d z ( a , d r ) = z d x + x d y + y d z (a,dr)=zdx+xdy+ydz(\mathbf{a}, d\mathbf{r}) = z \, dx + x \, dy + y \, dz(a,dr)=zdx+xdy+ydz
en la recta A B A B ABABAB será igual a cero. Por consiguiente, la integral lineal incógnita
∫ L ( a , d r ) = ∫ A B ( a , d r ) ∫ L   ( a , d r ) = ∫ A B   ( a , d r ) int _(L)(a,dr)=int_(AB)(a,dr)\int_L (\mathbf{a}, d\mathbf{r}) = \int_{AB} (\mathbf{a}, d\mathbf{r})∫L(a,dr)=∫AB(a,dr)
en la recta A B A B ABABAB será también igual a cero.
De los ejemplos 2 y 3 se desprende que en el caso general la integral lineal en el campo vectorial depende no sólo del punto inicial y del punto final de la vía de integración, sino también de la forma de esta vía.
Ejemplo 4. Calcular el trabajo del campo de fuerzas
F = y i + z j + ( x + y + z ) k F = y i + z j + ( x + y + z ) k F=yi+zj+(x+y+z)k\mathbf{F} = y \mathbf{i} + z \mathbf{j} + (x + y + z) \mathbf{k}F=yi+zj+(x+y+z)k
a lo largo del tramo A B A B ABABAB de la recta que pasa por los puntos M 1 ( 2 , 3 , 4 ) M 1 ( 2 , 3 , 4 ) M_(1)(2,3,4)M_1(2, 3, 4)M1(2,3,4) y M 2 ( 3 , 4 , 5 ) M 2 ( 3 , 4 , 5 ) M_(2)(3,4,5)M_2(3, 4, 5)M2(3,4,5).
Solución. El trabajo del campo de fuerzas dado será igual a la integral lineal a lo largo del tramo M 1 M 2 M 1 M 2 M_(1)M_(2)M_1M_2M1M2:
A = ∫ M 1 M 2 ( F , d r ) = ∫ M 1 M 2 y d x + z d y + ( x + y + z ) d z . A = ∫ M 1 M 2   ( F , d r ) = ∫ M 1 M 2   y d x + z d y + ( x + y + z ) d z . A=int_(M_(1)M_(2))(F,dr)=int_(M_(1)M_(2))ydx+zdy+(x+y+z)dz.A = \int_{M_1M_2} (\mathbf{F}, d\mathbf{r}) = \int_{M_1M_2} y \, dx + z \, dy + (x + y + z) \, dz.A=∫M1M2(F,dr)=∫M1M2ydx+zdy+(x+y+z)dz.
Hallamos las ecuaciones canónicas de la recta M 1 M 2 M 1 M 2 M_(1)M_(2)M_1M_2M1M2. Tenemos
x − 2 1 = y − 3 1 = z − 4 1 . x − 2 1 = y − 3 1 = z − 4 1 . (x-2)/(1)=(y-3)/(1)=(z-4)/(1).\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 4}{1}.x−21=y−31=z−41.
De aquí
y = x + 1 , z = x + 2 , d y = d x , d z = d x . y = x + 1 , z = x + 2 , d y = d x , d z = d x . y=x+1,quad z=x+2,quad dy=dx,quad dz=dx.y = x + 1, \quad z = x + 2, \quad dy = dx, \quad dz = dx.y=x+1,z=x+2,dy=dx,dz=dx.
Aquí x x xxx varía en los límites desde 2 hasta 3 (puesto que la abscisa del punto M 1 M 1 M_(1)M_1M1 es igual a 2, y la abscisa del punto M 2 M 2 M_(2)M_2M2 es igual a 3). El trabajo buscado será igual a
A = ∫ 2 3 ( ( x + 1 ) + ( x + 2 ) + ( x + x + 1 + x + 2 ) ) d x = ∫ 2 3 ( 5 x + 6 ) d x = [ 5 2 x 2 + 6 x ] 2 3 = 5 2 ( 9 − 4 ) + 6 ( 3 − 2 ) = 25 2 + 6 = 37 2 . A = ∫ 2 3   ( x + 1 ) + ( x + 2 ) + ( x + x + 1 + x + 2 ) d x = ∫ 2 3   ( 5 x + 6 ) d x = 5 2 x 2 + 6 x 2 3 = 5 2 ( 9 − 4 ) + 6 ( 3 − 2 ) = 25 2 + 6 = 37 2 . A=int_(2)^(3)((x+1)+(x+2)+(x+x+1+x+2))dx=int_(2)^(3)(5x+6)dx=[(5)/(2)x^(2)+6x]_(2)^(3)=(5)/(2)(9-4)+6(3-2)=(25)/(2)+6=(37)/(2).A = \int_2^3 \left( (x + 1) + (x + 2) + (x + x + 1 + x + 2) \right) dx = \int_2^3 (5x + 6) dx = \left[ \frac{5}{2} x^2 + 6x \right]_2^3 = \frac{5}{2} (9 - 4) + 6 (3 - 2) = \frac{25}{2} + 6 = \frac{37}{2}.A=∫23((x+1)+(x+2)+(x+x+1+x+2))dx=∫23(5x+6)dx=[52x2+6x]23=52(9−4)+6(3−2)=252+6=372.

CIRCULACIÓN DEL CAMPO VECTORIAL Y SU CÁLCULO

Definición 2. La integral lineal tomada a lo largo de la curva cerrada orientada L L LLL se llama la circulación C C CCC del campo vectorial a = a ( M ) a = a ( M ) a=a(M)\mathbf{a} = \mathbf{a}(M)a=a(M). De tal modo, según la definición
C = ∮ L ( a , d r ) , C = ∮ L ( a , d r ) , C=oint_(L)(a,dr),C = \oint_L (\mathbf{a}, d\mathbf{r}),C=∮L(a,dr),
donde el símbolo ∮ L ∮ L oint_(L)\oint_L∮L significa la integral por la curva cerrada L L LLL.
Si el campo vectorial a = a ( M ) a = a ( M ) a=a(M)\mathbf{a} = \mathbf{a}(M)a=a(M) se prefija en la forma de coordenadas
a = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k , a = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k , a=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k,\mathbf{a} = P(x, y, z) \mathbf{i} + Q(x, y, z) \mathbf{j} + R(x, y, z) \mathbf{k},a=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k,
entonces la circulación del campo vectorial será igual a
C = ∮ L P d x + Q d y + R d z . C = ∮ L P d x + Q d y + R d z . C=oint_(L)Pdx+Qdy+Rdz.C = \oint_L P \, dx + Q \, dy + R \, dz.C=∮LPdx+Qdy+Rdz.
Ejemplo 5. Calcular la circulación del campo vectorial a = − y 3 i + x 3 j a = − y 3 i + x 3 j a=-y^(3)i+x^(3)j\mathbf{a} = -y^3 \mathbf{i} + x^3 \mathbf{j}a=−y3i+x3j a lo largo de la elipse L : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 L : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 L:(x^(2))/(a^(2))+(y^(2))/(b^(2))=1L: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1L:x2a2+y2b2=1, en dirección contraria a las agujas de un reloj.
Solución. Según la definición de la circulación tenemos
(3) C = ∮ L ( a , d r ) = ∮ L − y 3 d x + x 3 d y . (3) C = ∮ L ( a , d r ) = ∮ L − y 3 d x + x 3 d y . {:(3)C=oint_(L)(a","dr)=oint_(L)-y^(3)dx+x^(3)dy.:}C = \oint_L (\mathbf{a}, d\mathbf{r}) = \oint_L -y^3 \, dx + x^3 \, dy. \tag{3}(3)C=∮L(a,dr)=∮L−y3dx+x3dy.
Las ecuaciones paramétricas de la elipse dada tienen la forma
(4) x = a cos ⁡ t , y = b sin ⁡ t , 0 ≤ t < 2 π . (4) x = a cos ⁡ t , y = b sin ⁡ t , 0 ≤ t < 2 π . {:(4)x=a cos t","quad y=b sin t","quad0 <= t < 2pi.:}x = a \cos t, \quad y = b \sin t, \quad 0 \leq t < 2\pi. \tag{4}(4)x=acos⁡t,y=bsin⁡t,0≤t<2π.
De aquí
(5) d x = − a sin ⁡ t d t , d y = b cos ⁡ t d t . (5) d x = − a sin ⁡ t d t , d y = b cos ⁡ t d t . {:(5)dx=-a sin tdt","quad dy=b cos tdt.:}dx = -a \sin t \, dt, \quad dy = b \cos t \, dt. \tag{5}(5)dx=−asin⁡tdt,dy=bcos⁡tdt.
Sustituyendo (4) y (5) en (3), obtendremos
C = a b ∫ 0 2 π ( b 2 sin 4 ⁡ t + a 2 cos 4 ⁡ t ) d t = 3 4 π a b ( a 2 + b 2 ) , C = a b ∫ 0 2 π   ( b 2 sin 4 ⁡ t + a 2 cos 4 ⁡ t ) d t = 3 4 π a b ( a 2 + b 2 ) , C=abint_(0)^(2pi)(b^(2)sin^(4)t+a^(2)cos^(4)t)dt=(3)/(4)pi ab(a^(2)+b^(2)),C = ab \int_0^{2\pi} (b^2 \sin^4 t + a^2 \cos^4 t) \, dt = \frac{3}{4} \pi ab (a^2 + b^2),C=ab∫02π(b2sin4⁡t+a2cos4⁡t)dt=34πab(a2+b2),
puesto que
∫ 0 2 π sin 4 ⁡ t d t = 3 4 π , ∫ 0 2 π cos 4 ⁡ t d t = 3 4 π . ∫ 0 2 π   sin 4 ⁡ t d t = 3 4 π , ∫ 0 2 π   cos 4 ⁡ t d t = 3 4 π . int_(0)^(2pi)sin^(4)tdt=(3)/(4)pi,quadint_(0)^(2pi)cos^(4)tdt=(3)/(4)pi.\int_0^{2\pi} \sin^4 t \, dt = \frac{3}{4} \pi, \quad \int_0^{2\pi} \cos^4 t \, dt = \frac{3}{4} \pi.∫02πsin4⁡tdt=34π,∫02πcos4⁡tdt=34π.
Ejemplo 6. Calcular la circulación del campo vectorial
a = y e x y i + x e x y j + x y z k a = y e x y i + x e x y j + x y z k a=ye^(xy)i+xe^(xy)j+xyzk\mathbf{a} = y e^{xy} \mathbf{i} + x e^{xy} \mathbf{j} + xyz \mathbf{k}a=yexyi+xexyj+xyzk
a lo largo de la línea L L LLL la que obtenemos por la intersección del cono x 2 + y 2 = ( z − 1 ) 2 x 2 + y 2 = ( z − 1 ) 2 x^(2)+y^(2)=(z-1)^(2)x^2 + y^2 = (z - 1)^2x2+y2=(z−1)2 con los planos de coordenadas (fig. 31) en la dirección indicada en la figura.
Solución. La línea L L LLL está compuesta de los dos segmentos B C B C BCBCBC y C A C A CACACA situados en los planos de coordenadas y O z y O z yOzyOzyOz y x O z x O z xOzxOzxOz respectivamente y del arco A B A B ABABAB de la circunferencia
{ x 2 + y 2 = 1 , z = 0. x 2 + y 2 = 1 , z = 0. {[x^(2)+y^(2)=1","],[z=0.]:}\begin{cases} x^2 + y^2 = 1, \\ z = 0. \end{cases}{x2+y2=1,z=0.
Por eso la circulación del campo dado será igual a
C = ∮ L ( a , d r ) = ∫ B C ( a , d r ) + ∫ C A ( a , d r ) + ∫ A B ( a , d r ) . C = ∮ L ( a , d r ) = ∫ B C   ( a , d r ) + ∫ C A   ( a , d r ) + ∫ A B   ( a , d r ) . C=oint_(L)(a,dr)=int_(BC)(a,dr)+int_(CA)(a,dr)+int_(AB)(a,dr).C = \oint_L (\mathbf{a}, d\mathbf{r}) = \int_{BC} (\mathbf{a}, d\mathbf{r}) + \int_{CA} (\mathbf{a}, d\mathbf{r}) + \int_{AB} (\mathbf{a}, d\mathbf{r}).C=∮L(a,dr)=∫BC(a,dr)+∫CA(a,dr)+∫AB(a,dr).
  1. En el segmento B C B C BCBCBC tenemos x = 0 x = 0 x=0x = 0x=0, d x = 0 d x = 0 dx=0dx = 0dx=0; z = 1 − y z = 1 − y z=1-yz = 1 - yz=1−y, d z = − d y d z = − d y dz=-dydz = -dydz=−dy; 1 ≥ y ≥ 0 1 ≥ y ≥ 0 1 >= y >= 01 \geq y \geq 01≥y≥0. Por lo tanto,
∫ B C ( a , d r ) = ∫ B C y d x = 0. ∫ B C   ( a , d r ) = ∫ B C   y d x = 0. int_(BC)(a,dr)=int_(BC)ydx=0.\int_{BC} (\mathbf{a}, d\mathbf{r}) = \int_{BC} y \, dx = 0.∫BC(a,dr)=∫BCydx=0.
  1. En el segmento C A C A CACACA tenemos y = 0 y = 0 y=0y = 0y=0, d y = 0 d y = 0 dy=0dy = 0dy=0; z = 1 − x z = 1 − x z=1-xz = 1 - xz=1−x, d z = − d x d z = − d x dz=-dxdz = -dxdz=−dx; 0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ x ≤ 1 0 <= x <= 10 \leq x \leq 10≤x≤1. Por consiguiente,
∫ C A ( a , d r ) = ∫ C A x d y = 0. ∫ C A   ( a , d r ) = ∫ C A   x d y = 0. int_(CA)(a,dr)=int_(CA)xdy=0.\int_{CA} (\mathbf{a}, d\mathbf{r}) = \int_{CA} x \, dy = 0.∫CA(a,dr)=∫CAxdy=0.
  1. En el arco A B A B ABABAB de la circunferencia x 2 + y 2 = 1 x 2 + y 2 = 1 x^(2)+y^(2)=1x^2 + y^2 = 1x2+y2=1, tenemos z = 0 z = 0 z=0z = 0z=0, d z = 0 d z = 0 dz=0dz = 0dz=0, y lo que significa
∫ A B ( a , d r ) = ∫ A B e x y ( y d x + x d y ) = ∫ A B e x y d ( x y ) = ∫ A B d ( e x y ) = e x y | A ( 1 , 0 ) B ( 0 , 1 ) = 1 − 1 = 0. ∫ A B   ( a , d r ) = ∫ A B   e x y ( y d x + x d y ) = ∫ A B   e x y d ( x y ) = ∫ A B   d ( e x y ) = e x y | A ( 1 , 0 ) B ( 0 , 1 ) = 1 − 1 = 0. int_(AB)(a,dr)=int_(AB)e^(xy)(ydx+xdy)=int_(AB)e^(xy)d(xy)=int_(AB)d(e^(xy))=e^(xy)|_(A(1,0))^(B(0,1))=1-1=0.\int_{AB} (\mathbf{a}, d\mathbf{r}) = \int_{AB} e^{xy} (y \, dx + x \, dy) = \int_{AB} e^{xy} d(xy) = \int_{AB} d(e^{xy}) = e^{xy} \bigg|_{A(1, 0)}^{B(0, 1)} = 1 - 1 = 0.∫AB(a,dr)=∫ABexy(ydx+xdy)=∫ABexyd(xy)=∫ABd(exy)=exy|A(1,0)B(0,1)=1−1=0.
La circulación buscada del campo vectorial es igual a cero.
Ejemplo 7. Calcular la circulación del campo vectorial
a = x y i + y z j + x z k , a = x y i + y z j + x z k , a=xyi+yzj+xzk,\mathbf{a} = xy \mathbf{i} + yz \mathbf{j} + xz \mathbf{k},a=xyi+yzj+xzk,
si
L : { x 2 + y 2 = 1 , x + y + z = 1 , L : x 2 + y 2 = 1 , x + y + z = 1 , L:{[x^(2)+y^(2)=1","],[x+y+z=1","]:}L: \begin{cases} x^2 + y^2 = 1, \\ x + y + z = 1, \end{cases}L:{x2+y2=1,x+y+z=1,
en la dirección correspondiente al recorrido de la proyección L L LLL en el plano x O y x O y xOyxOyxOy en sentido antihorario.
Solución. Tenemos
C = ∮ L ( a , d r ) = ∫ L x y d x + y z d y + x z d z . C = ∮ L ( a , d r ) = ∫ L   x y d x + y z d y + x z d z . C=oint_(L)(a,dr)=int _(L)xydx+yzdy+xzdz.C = \oint_L (\mathbf{a}, d\mathbf{r}) = \int_L xy \, dx + yz \, dy + xz \, dz.C=∮L(a,dr)=∫Lxydx+yzdy+xzdz.
La línea L L LLL es la elipse que se obtiene como resultado de la sección del cilindro x 2 + y 2 = 1 x 2 + y 2 = 1 x^(2)+y^(2)=1x^2 + y^2 = 1x2+y2=1 con el plano x + y + z = 1 x + y + z = 1 x+y+z=1x + y + z = 1x+y+z=1. Hallamos las ecuaciones paramétricas de esta línea. La proyección de cualquier punto de esta línea en el plano x O y x O y xOyxOyxOy se encuentra en la circunferencia x 2 + y 2 = 1 x 2 + y 2 = 1 x^(2)+y^(2)=1x^2 + y^2 = 1x2+y2=1. De aquí obtenemos x = cos ⁡ t x = cos ⁡ t x=cos tx = \cos tx=cos⁡t, y = sin ⁡ t y = sin ⁡ t y=sin ty = \sin ty=sin⁡t. Pero la elipse se encuentra en el plano x + y + z = 1 x + y + z = 1 x+y+z=1x + y + z = 1x+y+z=1, de donde z = 1 − x − y z = 1 − x − y z=1-x-yz = 1 - x - yz=1−x−y o z = 1 − cos ⁡ t − sin ⁡ t z = 1 − cos ⁡ t − sin ⁡ t z=1-cos t-sin tz = 1 - \cos t - \sin tz=1−cos⁡t−sin⁡t. Por consiguiente, las ecuaciones paramétricas de la línea L L LLL son:
{ x = cos ⁡ t , y = sin ⁡ t , z = 1 − cos ⁡ t − sin ⁡ t , 0 ≤ t < 2 π . x = cos ⁡ t , y = sin ⁡ t , z = 1 − cos ⁡ t − sin ⁡ t , 0 ≤ t < 2 π . {[x=cos t","],[y=sin t","],[z=1-cos t-sin t","]:}quad0 <= t < 2pi.\begin{cases} x = \cos t, \\ y = \sin t, \\ z = 1 - \cos t - \sin t, \end{cases} \quad 0 \leq t < 2\pi.{x=cos⁡t,y=sin⁡t,z=1−cos⁡t−sin⁡t,0≤t<2π.
De aquí hallamos
d x = − sin ⁡ t d t , d y = cos ⁡ t d t , d z = ( sin ⁡ t − cos ⁡ t ) d t , d x = − sin ⁡ t d t , d y = cos ⁡ t d t , d z = ( sin ⁡ t − cos ⁡ t ) d t , dx=-sin tdt,quad dy=cos tdt,quad dz=(sin t-cos t)dt,dx = -\sin t \, dt, \quad dy = \cos t \, dt, \quad dz = (\sin t - \cos t) \, dt,dx=−sin⁡tdt,dy=cos⁡tdt,dz=(sin⁡t−cos⁡t)dt,
lo que significa que la circulación será igual a
C = ∫ 0 2 π [ − cos ⁡ t ⋅ sin 2 ⁡ t + sin ⁡ t ( 1 − cos ⁡ t − sin ⁡ t ) cos ⁡ t + cos ⁡ t ( 1 − cos ⁡ t − sin ⁡ t ) ( sin ⁡ t − cos ⁡ t ) ] d t . C = ∫ 0 2 π   − cos ⁡ t ⋅ sin 2 ⁡ t + sin ⁡ t ( 1 − cos ⁡ t − sin ⁡ t ) cos ⁡ t + cos ⁡ t ( 1 − cos ⁡ t − sin ⁡ t ) ( sin ⁡ t − cos ⁡ t ) d t . C=int_(0)^(2pi)[-cos t*sin^(2)t+sin t(1-cos t-sin t)cos t+cos t(1-cos t-sin t)(sin t-cos t)]dt.C = \int_0^{2\pi} \left[ -\cos t \cdot \sin^2 t + \sin t (1 - \cos t - \sin t) \cos t + \cos t (1 - \cos t - \sin t) (\sin t - \cos t) \right] dt.C=∫02π[−cos⁡t⋅sin2⁡t+sin⁡t(1−cos⁡t−sin⁡t)cos⁡t+cos⁡t(1−cos⁡t−sin⁡t)(sin⁡t−cos⁡t)]dt.
Simplificando la expresión dentro de la integral:
C = ∫ 0 2 π ( − cos ⁡ t sin 2 ⁡ t + sin ⁡ t cos ⁡ t − sin 2 ⁡ t cos ⁡ t − sin ⁡ t cos 2 ⁡ t + cos ⁡ t sin ⁡ t − cos 2 ⁡ t ) d t . C = ∫ 0 2 π   − cos ⁡ t sin 2 ⁡ t + sin ⁡ t cos ⁡ t − sin 2 ⁡ t cos ⁡ t − sin ⁡ t cos 2 ⁡ t + cos ⁡ t sin ⁡ t − cos 2 ⁡ t d t . C=int_(0)^(2pi)(-cos tsin^(2)t+sin t cos t-sin^(2)t cos t-sin tcos^(2)t+cos t sin t-cos^(2)t)dt.C = \int_0^{2\pi} \left( -\cos t \sin^2 t + \sin t \cos t - \sin^2 t \cos t - \sin t \cos^2 t + \cos t \sin t - \cos^2 t \right) dt.C=∫02π(−cos⁡tsin2⁡t+sin⁡tcos⁡t−sin2⁡tcos⁡t−sin⁡tcos2⁡t+cos⁡tsin⁡t−cos2⁡t)dt.
Agrupando términos:
C = ∫ 0 2 π ( − cos ⁡ t sin 2 ⁡ t − sin 2 ⁡ t cos ⁡ t − sin ⁡ t cos 2 ⁡ t − cos 2 ⁡ t ) d t = − ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t d t = − π . C = ∫ 0 2 π   − cos ⁡ t sin 2 ⁡ t − sin 2 ⁡ t cos ⁡ t − sin ⁡ t cos 2 ⁡ t − cos 2 ⁡ t d t = − ∫ 0 2 π   cos 2 ⁡ t d t = − π . C=int_(0)^(2pi)(-cos tsin^(2)t-sin^(2)t cos t-sin tcos^(2)t-cos^(2)t)dt=-int_(0)^(2pi)cos^(2)tdt=-pi.C = \int_0^{2\pi} \left( -\cos t \sin^2 t - \sin^2 t \cos t - \sin t \cos^2 t - \cos^2 t \right) dt = -\int_0^{2\pi} \cos^2 t \, dt = -\pi.C=∫02π(−cos⁡tsin2⁡t−sin2⁡tcos⁡t−sin⁡tcos2⁡t−cos2⁡t)dt=−∫02πcos2⁡tdt=−π.

§ 15. ROTOR (ROTACIONAL) DEL CAMPO VECTORIAL

Sea que tenemos el campo del vector
a ( M ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k . a ( M ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k . a(M)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k.\mathbf{a}(M) = P(x, y, z) \mathbf{i} + Q(x, y, z) \mathbf{j} + R(x, y, z) \mathbf{k}.a(M)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k.
Supongamos que las coordenadas P , Q , R P , Q , R P,Q,RP, Q, RP,Q,R del vector a ( M ) a ( M ) a(M)\mathbf{a}(M)a(M) son continuas y tienen las derivadas parciales continuas del primer orden por todos sus argumentos.
Definición 1. Rotor del vector a ( M ) a ( M ) a(M)\mathbf{a}(M)a(M) es el vector que se designa con el símbolo rot a ( M ) rot a ( M ) "rot"a(M)\text{rot} \, \mathbf{a}(M)rota(M) y se define por la igualdad
(1) rot a = ( ∂ R ∂ y − ∂ Q ∂ z ) i + ( ∂ P ∂ z − ∂ R ∂ x ) j + ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) k (1) rot a = ∂ R ∂ y − ∂ Q ∂ z i + ∂ P ∂ z − ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y k {:(1)"rot"a=((del R)/(del y)-(del Q)/(del z))i+((del P)/(del z)-(del R)/(del x))j+((del Q)/(del x)-(del P)/(del y))k:}\text{rot} \, \mathbf{a} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right) \mathbf{i} + \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right) \mathbf{j} + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathbf{k} \tag{1}(1)rota=(∂R∂y−∂Q∂z)i+(∂P∂z−∂R∂x)j+(∂Q∂x−∂P∂y)k
o en la forma simbólica más cómoda para la recordación
(2) rot a = | i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R | . (2) rot a = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R . {:(2)"rot"a=|[i,j,k],[(del)/(del x),(del)/(del y),(del)/(del z)],[P,Q,R]|.:}\text{rot} \, \mathbf{a} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}. \tag{2}(2)rota=|ijk∂∂x∂∂y∂∂zPQR|.
Este determinante se desarrolla por lo común respecto de los elementos de la línea primera, con esto las operaciones de multiplicación de los elementos de la segunda línea por los elementos de la tercera línea se entienden como las operaciones de la diferenciación, verbigracia
∂ ∂ x ⋅ Q = ∂ Q ∂ x . ∂ ∂ x ⋅ Q = ∂ Q ∂ x . (del)/(del x)*Q=(del Q)/(del x).\frac{\partial}{\partial x} \cdot Q = \frac{\partial Q}{\partial x}.∂∂x⋅Q=∂Q∂x.
Definición 2. Si en algún dominio G G GGG tenemos rot a = 0 rot a = 0 "rot"a=0\text{rot} \, \mathbf{a} = 0rota=0, entonces el campo del vector a a a\mathbf{a}a en el dominio G G GGG se llama irrotacional.
Ejemplo 1. Hallar el rotor del vector
a = ( x + z ) i + ( y + z ) j + ( x 2 + z ) k . a = ( x + z ) i + ( y + z ) j + ( x 2 + z ) k . a=(x+z)i+(y+z)j+(x^(2)+z)k.\mathbf{a} = (x + z) \mathbf{i} + (y + z) \mathbf{j} + (x^2 + z) \mathbf{k}.a=(x+z)i+(y+z)j+(x2+z)k.
Solución. Aplicando la fórmula (2), tenemos
rot a = | i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z x + z y + z x 2 + z | . rot a = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z x + z y + z x 2 + z . "rot"a=|[i,j,k],[(del)/(del x),(del)/(del y),(del)/(del z)],[x+z,y+z,x^(2)+z]|.\text{rot} \, \mathbf{a} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ x + z & y + z & x^2 + z \end{vmatrix}.rota=|ijk∂∂x∂∂y∂∂zx+zy+zx2+z|.
Desarrollando el determinante por los elementos de la primera línea y sobreentiendo con esto la operación de multiplicación, por ejemplo ∂ ∂ y ∂ ∂ y (del)/(del y)\frac{\partial}{\partial y}∂∂y por x 2 + z x 2 + z x^(2)+zx^2 + zx2+z como la operación de la diferenciación particular, hallamos
rot a = − i − ( 2 x − 1 ) j . rot a = − i − ( 2 x − 1 ) j . "rot"a=-i-(2x-1)j.\text{rot} \, \mathbf{a} = -\mathbf{i} - (2x - 1) \mathbf{j}.rota=−i−(2x−1)j.
Ejemplo 2. Hallar el rotor del vector H H H\mathbf{H}H de la intensidad del campo magnético en las condiciones del ejemplo 3 § 10.
Solución. El vector H H H\mathbf{H}H de la intensidad del campo magnético
H = 2 ρ 2 [ I , r ] H = 2 ρ 2 [ I , r ] H=(2)/(rho^(2))[I,r]\mathbf{H} = \frac{2}{\rho^2} [\mathbf{I}, \mathbf{r}]H=2ρ2[I,r]
o
H = 2 ρ 2 | i j k 0 0 1 x y z | = − 2 I ρ 2 y i + 2 I ρ 2 x j , H = 2 ρ 2 i j k 0 0 1 x y z = − 2 I ρ 2 y i + 2 I ρ 2 x j , H=(2)/(rho^(2))|[i,j,k],[0,0,1],[x,y,z]|=-(2I)/(rho^(2))yi+(2I)/(rho^(2))xj,\mathbf{H} = \frac{2}{\rho^2} \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = -\frac{2I}{\rho^2} y \mathbf{i} + \frac{2I}{\rho^2} x \mathbf{j},H=2ρ2|ijk001xyz|=−2Iρ2yi+2Iρ2xj,
donde ρ 2 = x 2 + y 2 ρ 2 = x 2 + y 2 rho^(2)=x^(2)+y^(2)\rho^2 = x^2 + y^2ρ2=x2+y2. De aquí según (2)
rot H = | i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z − 2 I y x 2 + y 2 2 I x x 2 + y 2 0 | = [ ∂ ∂ x ( 2 I x x 2 + y 2 ) + ∂ ∂ y ( 2 I y x 2 + y 2 ) ] k = 2 I [ x 2 + y 2 − 2 x 2 ( x 2 + y 2 ) 2 + x 2 + y 2 − 2 y 2 ( x 2 + y 2 ) 2 ] k = 0 ( x 2 + y 2 ≠ 0 ) . rot H = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z − 2 I y x 2 + y 2 2 I x x 2 + y 2 0 = ∂ ∂ x 2 I x x 2 + y 2 + ∂ ∂ y 2 I y x 2 + y 2 k = 2 I x 2 + y 2 − 2 x 2 ( x 2 + y 2 ) 2 + x 2 + y 2 − 2 y 2 ( x 2 + y 2 ) 2 k = 0 ( x 2 + y 2 ≠ 0 ) . "rot"H=|[i,j,k],[(del)/(del x),(del)/(del y),(del)/(del z)],[-(2Iy)/(x^(2)+y^(2)),(2Ix)/(x^(2)+y^(2)),0]|=[(del)/(del x)((2Ix)/(x^(2)+y^(2)))+(del)/(del y)((2Iy)/(x^(2)+y^(2)))]k=2I[(x^(2)+y^(2)-2x^(2))/((x^(2)+y^(2))^(2))+(x^(2)+y^(2)-2y^(2))/((x^(2)+y^(2))^(2))]k=0quad(x^(2)+y^(2)!=0).\text{rot} \, \mathbf{H} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ -\frac{2Iy}{x^2 + y^2} & \frac{2Ix}{x^2 + y^2} & 0 \end{vmatrix} = \left[ \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{2Ix}{x^2 + y^2} \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{2Iy}{x^2 + y^2} \right) \right] \mathbf{k} = 2I \left[ \frac{x^2 + y^2 - 2x^2}{(x^2 + y^2)^2} + \frac{x^2 + y^2 - 2y^2}{(x^2 + y^2)^2} \right] \mathbf{k} = 0 \quad (x^2 + y^2 \ne 0).rotH=|ijk∂∂x∂∂y∂∂z−2Iyx2+y22Ixx2+y20|=[∂∂x(2Ixx2+y2)+∂∂y(2Iyx2+y2)]k=2I[x2+y2−2x2(x2+y2)2+x2+y2−2y2(x2+y2)2]k=0(x2+y2≠0).
De tal modo, rot H = 0 rot H = 0 "rot"H=0\text{rot} \, \mathbf{H} = 0rotH=0 en todas partes menos el eje O z O z OzOzOz, en los puntos del cual las últimas fórmulas pierden el sentido (el denominador se anula), es decir, el campo del vector H H H\mathbf{H}H es irrotacional en todas partes fuera de los puntos del eje O z O z OzOzOz.
Hallar el rotor de los siguientes vectores:
  1. a = ( x 2 + y 2 ) i + ( y 2 + z 2 ) j + ( z 2 + x 2 ) k a = ( x 2 + y 2 ) i + ( y 2 + z 2 ) j + ( z 2 + x 2 ) k a=(x^(2)+y^(2))i+(y^(2)+z^(2))j+(z^(2)+x^(2))k\mathbf{a} = (x^2 + y^2) \mathbf{i} + (y^2 + z^2) \mathbf{j} + (z^2 + x^2) \mathbf{k}a=(x2+y2)i+(y2+z2)j+(z2+x2)k.
  2. a = z 3 i + y 3 j + x 3 k a = z 3 i + y 3 j + x 3 k a=z^(3)i+y^(3)j+x^(3)k\mathbf{a} = z^3 \mathbf{i} + y^3 \mathbf{j} + x^3 \mathbf{k}a=z3i+y3j+x3k.
  3. a = 1 2 ( − y 2 i + x 2 j ) a = 1 2 ( − y 2 i + x 2 j ) a=(1)/(2)(-y^(2)i+x^(2)j)\mathbf{a} = \frac{1}{2} (-y^2 \mathbf{i} + x^2 \mathbf{j})a=12(−y2i+x2j).
  4. Mostrar que si las coordenadas del vector a ( M ) a ( M ) a(M)\mathbf{a}(M)a(M) tienen las derivadas parciales continuas del segundo orden, entonces
div rot a = 0 , div rot a = 0 , "div""rot"a=0,\text{div} \, \text{rot} \, \mathbf{a} = 0,divrota=0,
o sea que significa que el campo del vector rot a ( M ) rot a ( M ) "rot"a(M)\text{rot} \, \mathbf{a}(M)rota(M) es el campo solenoidal.
183. Mostrar que
a) rot ( a ± b ) = rot a ± rot b rot ( a ± b ) = rot a ± rot b "rot"(a+-b)="rot"a+-"rot"b\text{rot} \, (\mathbf{a} \pm \mathbf{b}) = \text{rot} \, \mathbf{a} \pm \text{rot} \, \mathbf{b}rot(a±b)=rota±rotb,
b) rot ( λ a ) = λ rot a rot ( λ a ) = λ rot a "rot"(lambdaa)=lambda"rot"a\text{rot} \, (\lambda \mathbf{a}) = \lambda \, \text{rot} \, \mathbf{a}rot(λa)=λrota
( λ e s l a c o n s t a n t e n u m é r i c a ) ( λ e s l a c o n s t a n t e n u m é r i c a ) (lambdaeslaconstantenumérica)(\lambda \, es \, la \, constante \, numérica)(λeslaconstantenumérica).
184. Mostrar que si u = u ( M ) u = u ( M ) u=u(M)u = u(M)u=u(M) es la función escalar, a = a ( M ) a = a ( M ) a=a(M)\mathbf{a} = \mathbf{a}(M)a=a(M) es el vector, entonces
rot ( u a ) = u rot a + [ grad u , a ] . rot ( u a ) = u rot a + [ grad u , a ] . "rot"(ua)=u"rot"a+["grad"u,a].\text{rot} \, (u \mathbf{a}) = u \, \text{rot} \, \mathbf{a} + [\text{grad} \, u, \mathbf{a}].rot(ua)=urota+[gradu,a].
  1. Mostrar que si a a a\mathbf{a}a y b b b\mathbf{b}b son los vectores constantes, r r r\mathbf{r}r es el radio vector del punto M ( x , y , z ) M ( x , y , z ) M(x,y,z)M(x, y, z)M(x,y,z), entonces
rot [ ( r , a ) b ] = [ a , b ] . rot [ ( r , a ) b ] = [ a , b ] . "rot"[(r,a)b]=[a,b].\text{rot} \, [(\mathbf{r}, \mathbf{a}) \mathbf{b}] = [\mathbf{a}, \mathbf{b}].rot[(r,a)b]=[a,b].
  1. Mostrar que
rot ( r a ) = 1 r [ r , a ] , rot ( r a ) = 1 r [ r , a ] , "rot"(ra)=(1)/(r)[r,a],\text{rot} \, (\mathbf{r} \mathbf{a}) = \frac{1}{r} [\mathbf{r}, \mathbf{a}],rot(ra)=1r[r,a],
donde a a a\mathbf{a}a es el vector constante, r = | r | = x 2 + y 2 + z 2 r = | r | = x 2 + y 2 + z 2 r=|r|=sqrt(x^(2)+y^(2)+z^(2))r = |\mathbf{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}r=|r|=x2+y2+z2.
187. Mostrar que rot ( f ( r ) a ) = f ′ ( r ) r [ r , a ] rot ( f ( r ) a ) = f ′ ( r ) r [ r , a ] "rot"(f(r)a)=(f^(')(r))/(r)[r,a]\text{rot} \, (f(r) \mathbf{a}) = \frac{f'(r)}{r} [\mathbf{r}, \mathbf{a}]rot(f(r)a)=f′(r)r[r,a], donde f ( r ) f ( r ) f(r)f(r)f(r) es la función arbitraria que diferenciamos de su argumento, a a a\mathbf{a}a es el vector constante.
188. Mostrar que el campo vectorial a = f ( r ) r a = f ( r ) r a=f(r)r\mathbf{a} = f(r) \mathbf{r}a=f(r)r es irrotacional, es decir, rot a ≡ 0 rot a ≡ 0 "rot"a-=0\text{rot} \, \mathbf{a} \equiv 0rota≡0.

§ 16. TEOREMA DE STOKES

Dado que las coordenadas del vector
a ( M ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k a ( M ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k a(M)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k\mathbf{a}(M) = P(x, y, z) \mathbf{i} + Q(x, y, z) \mathbf{j} + R(x, y, z) \mathbf{k}a(M)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k
son continuas y tienen las derivadas parciales continuas.
Teorema. La circulación de un vector a a a\mathbf{a}a a lo largo de un contorno cerrado L L LLL es igual al flujo del rotor de este vector a través de la superficie cualquiera Σ Σ Sigma\SigmaΣ tendida en este contorno L L LLL:
(1) ∮ L ( a , d r ) = ∬ Σ ( rot a , n 0 ) d σ . (1) ∮ L ( a , d r ) = ∬ Σ   ( rot a , n 0 ) d σ . {:(1)oint_(L)(a","dr)=∬_(Sigma)("rot"a","n^(0))d sigma.:}\oint_L (\mathbf{a}, d\mathbf{r}) = \iint_{\Sigma} (\text{rot} \, \mathbf{a}, \mathbf{n}^0) \, d\sigma. \tag{1}(1)∮L(a,dr)=∬Σ(rota,n0)dσ.
Se supone que la orientación de la normal n 0 n 0 n^(0)\mathbf{n}^0n0 a la superficie Σ Σ Sigma\SigmaΣ coincide con la orientación del contorno L L LLL de tal modo que de un extremo de la normal el recorrido del contorno en la dirección elegida sea visto realizando el movimiento en sentido antihorario.
Ejemplo 1. Calcular la circulación del vector a = y i + x 2 j − z k a = y i + x 2 j − z k a=yi+x^(2)j-zk\mathbf{a} = y \mathbf{i} + x^2 \mathbf{j} - z \mathbf{k}a=yi+x2j−zk por el contorno L L LLL:
{ x 2 + y 2 = 4 , z = 3 , x 2 + y 2 = 4 , z = 3 , {[x^(2)+y^(2)=4","],[z=3","]:}\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ z = 3, \end{cases}{x2+y2=4,z=3,
  1. directamente, 2) por el teorema de Stokes.
Solución. 1) El contorno L L LLL es la circunferencia del radio R = 2 R = 2 R=2R = 2R=2, que se encuentra en el plano z = 3 z = 3 z=3z = 3z=3 (véase la fig. 32). Escogemos la orientación en ella de tal modo como está indicado en la figura. Las ecuaciones paramétricas de la línea L L LLL son:
{ x = 2 cos ⁡ t , y = 2 sin ⁡ t , z = 3 , 0 ≤ t < 2 π , x = 2 cos ⁡ t , y = 2 sin ⁡ t , z = 3 , 0 ≤ t < 2 π , {[x=2cos t","],[y=2sin t","],[z=3","]:}quad0 <= t < 2pi,\begin{cases} x = 2 \cos t, \\ y = 2 \sin t, \\ z = 3, \end{cases} \quad 0 \leq t < 2\pi,{x=2cos⁡t,y=2sin⁡t,z=3,0≤t<2π,
así pues,
d x = − 2 sin ⁡ t d t , d y = 2 cos ⁡ t d t , d z = 0. d x = − 2 sin ⁡ t d t , d y = 2 cos ⁡ t d t , d z = 0. dx=-2sin tdt,quad dy=2cos tdt,quad dz=0.dx = -2 \sin t \, dt, \quad dy = 2 \cos t \, dt, \quad dz = 0.dx=−2sin⁡tdt,dy=2cos⁡tdt,dz=0.
Para la circulación del vector a a a\mathbf{a}a tenemos
C = ∫ 0 2 π [ 2 sin ⁡ t ( − 2 sin ⁡ t ) + 4 cos 2 ⁡ t ⋅ 2 cos ⁡ t − 3 ⋅ 0 ] d t = − 4 π . C = ∫ 0 2 π   2 sin ⁡ t ( − 2 sin ⁡ t ) + 4 cos 2 ⁡ t ⋅ 2 cos ⁡ t − 3 ⋅ 0 d t = − 4 π . C=int_(0)^(2pi)[2sin t(-2sin t)+4cos^(2)t*2cos t-3*0]dt=-4pi.C = \int_0^{2\pi} \left[ 2 \sin t (-2 \sin t) + 4 \cos^2 t \cdot 2 \cos t - 3 \cdot 0 \right] dt = -4\pi.C=∫02π[2sin⁡t(−2sin⁡t)+4cos2⁡t⋅2cos⁡t−3⋅0]dt=−4π.
  1. Para calcular la circulación según el teorema de Stokes escogemos cierta superficie Σ Σ Sigma\SigmaΣ, que está tendida sobre el contorno L L LLL. Es natural en la calidad de Σ Σ Sigma\SigmaΣ tomar el círculo cuyo límite es la línea L L LLL. De acuerdo con la orientación elegida del contorno es necesario tomar la normal n 0 n 0 n^(0)\mathbf{n}^0n0 al círculo igual a k k k\mathbf{k}k: n 0 = k n 0 = k n^(0)=k\mathbf{n}^0 = \mathbf{k}n0=k. Más adelante
rot a = | i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z y x 2 − z | = ( 2 x − 1 ) k . rot a = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z y x 2 − z = ( 2 x − 1 ) k . "rot"a=|[i,j,k],[(del)/(del x),(del)/(del y),(del)/(del z)],[y,x^(2),-z]|=(2x-1)k.\text{rot} \, \mathbf{a} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ y & x^2 & -z \end{vmatrix} = (2x - 1) \mathbf{k}.rota=|ijk∂∂x∂∂y∂∂zyx2−z|=(2x−1)k.
Por eso, según el teorema de Stokes tenemos
C = ∬ Σ ( rot a , n 0 ) d σ = ∬ Σ ( 2 x − 1 ) d σ = ∫ 0 2 π d φ ∫ 0 2 ( 2 ρ cos ⁡ φ − 1 ) ρ d ρ = − 2 π ρ 2 2 | 0 2 = − 4 π . C = ∬ Σ   ( rot a , n 0 ) d σ = ∬ Σ   ( 2 x − 1 ) d σ = ∫ 0 2 π   d φ ∫ 0 2   ( 2 ρ cos ⁡ φ − 1 ) ρ d ρ = − 2 π ρ 2 2 0 2 = − 4 π . C=∬_(Sigma)("rot"a,n^(0))d sigma=∬_(Sigma)(2x-1)d sigma=int_(0)^(2pi)d varphiint_(0)^(2)(2rho cos varphi-1)rhod rho=-2pi(rho^(2))/(2)|_(0)^(2)=-4pi.C = \iint_{\Sigma} (\text{rot} \, \mathbf{a}, \mathbf{n}^0) \, d\sigma = \iint_{\Sigma} (2x - 1) \, d\sigma = \int_0^{2\pi} d\varphi \int_0^2 (2\rho \cos \varphi - 1) \rho \, d\rho = -2\pi \left. \frac{\rho^2}{2} \right|_0^2 = -4\pi.C=∬Σ(rota,n0)dσ=∬Σ(2x−1)dσ=∫02πdφ∫02(2ρcos⁡φ−1)ρdρ=−2πρ22|02=−4π.
194. Mostrar que el flujo del rotor a través de la superficie no cerrada que está tendida sobre el contorno dado no depende de la forma de superficie.
Hallar la circulación de los vectores directamente por los contornos señalados, en dirección correspondiente al recorrido, en sentido antihorario, de la proyección L L LLL en el plano x O y x O y xOyxOyxOy y por el teorema de Stokes.
  1. a = x i + x j + y k ; L : { x 2 + y 2 = 4 , z = 0. a = x i + x j + y k ; L : x 2 + y 2 = 4 , z = 0. a=xi+xj+yk;quad L:{[x^(2)+y^(2)=4","],[z=0.]:}\mathbf{a} = x \mathbf{i} + x \mathbf{j} + y \mathbf{k}; \quad L: \begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ z = 0. \end{cases}a=xi+xj+yk;L:{x2+y2=4,z=0.
  2. a = y i − x j + z k ; L : { x 2 + y 2 + z 2 = 4 , x 2 + y 2 = z 2 , z ≥ 0. a = y i − x j + z k ; L : x 2 + y 2 + z 2 = 4 , x 2 + y 2 = z 2 , z ≥ 0. a=yi-xj+zk;quad L:{[x^(2)+y^(2)+z^(2)=4","],[x^(2)+y^(2)=z^(2)","quad z >= 0.]:}\mathbf{a} = y \mathbf{i} - x \mathbf{j} + z \mathbf{k}; \quad L: \begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 = 4, \\ x^2 + y^2 = z^2, \quad z \geq 0. \end{cases}a=yi−xj+zk;L:{x2+y2+z2=4,x2+y2=z2,z≥0.
  3. a = 2 x z i − y j + z k a = 2 x z i − y j + z k a=2xzi-yj+zk\mathbf{a} = 2x z \mathbf{i} - y \mathbf{j} + z \mathbf{k}a=2xzi−yj+zk por el contorno formado mediante la intersección del plano x + y + 2 z = 2 x + y + 2 z = 2 x+y+2z=2x + y + 2z = 2x+y+2z=2 con los planos de coordenadas.
  4. a = y i − x j + ( x + y ) k ; L : { z = x 2 + y 2 , z = 1. a = y i − x j + ( x + y ) k ; L : z = x 2 + y 2 , z = 1. a=yi-xj+(x+y)k;quad L:{[z=x^(2)+y^(2)","],[z=1.]:}\mathbf{a} = y \mathbf{i} - x \mathbf{j} + (x + y) \mathbf{k}; \quad L: \begin{cases} z = x^2 + y^2, \\ z = 1. \end{cases}a=yi−xj+(x+y)k;L:{z=x2+y2,z=1.
  5. a = z 2 i ; L : { x 2 + y 2 + z 2 = 16 , x = 0 , y = 0 , z = 0. a = z 2 i ; L : x 2 + y 2 + z 2 = 16 , x = 0 , y = 0 , z = 0. a=z^(2)i;quad L:{[x^(2)+y^(2)+z^(2)=16","],[x=0","quad y=0","quad z=0.]:}\mathbf{a} = z^2 \mathbf{i}; \quad L: \begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 = 16, \\ x = 0, \quad y = 0, \quad z = 0. \end{cases}a=z2i;L:{x2+y2+z2=16,x=0,y=0,z=0.
Hallar la circulación de los siguientes campos vectoriales a lo largo de los contornos, la orientación de los cuales coincide con las normales indicadas.
  1. a = x y 2 i + x z 2 j + x 2 y k ; L : { x = y 2 + z 2 , x = 9. ( n 0 = i ) a = x y 2 i + x z 2 j + x 2 y k ; L : x = y 2 + z 2 , x = 9. ( n 0 = i ) a=xy^(2)i+xz^(2)j+x^(2)yk;quad L:{[x=y^(2)+z^(2)","],[x=9.]:}quad(n^(0)=i)\mathbf{a} = x y^2 \mathbf{i} + x z^2 \mathbf{j} + x^2 y \mathbf{k}; \quad L: \begin{cases} x = y^2 + z^2, \\ x = 9. \end{cases} \quad (\mathbf{n}^0 = \mathbf{i})a=xy2i+xz2j+x2yk;L:{x=y2+z2,x=9.(n0=i)
  2. a = y 2 i + z 2 j ; L : { x 2 + y 2 = 9 , 3 y + 4 z = 5. ( n 0 = 3 j + 4 k 5 ) a = y 2 i + z 2 j ; L : x 2 + y 2 = 9 , 3 y + 4 z = 5. ( n 0 = 3 j + 4 k 5 ) a=y^(2)i+z^(2)j;quad L:{[x^(2)+y^(2)=9","],[3y+4z=5.]:}quad(n^(0)=(3j+4k)/(5))\mathbf{a} = y^2 \mathbf{i} + z^2 \mathbf{j}; \quad L: \begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ 3y + 4z = 5. \end{cases} \quad (\mathbf{n}^0 = \frac{3 \mathbf{j} + 4 \mathbf{k}}{5})a=y2i+z2j;L:{x2+y2=9,3y+4z=5.(n0=3j+4k5)
  3. a = y i − x j + z k ; L : { x 2 + y 2 + z 2 = 1 , x = z . ( n 0 = − i + k 2 ) a = y i − x j + z k ; L : x 2 + y 2 + z 2 = 1 , x = z . ( n 0 = − i + k 2 ) a=yi-xj+zk;quad L:{[x^(2)+y^(2)+z^(2)=1","],[x=z.]:}quad(n^(0)=(-i+k)/(sqrt2))\mathbf{a} = y \mathbf{i} - x \mathbf{j} + z \mathbf{k}; \quad L: \begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 = 1, \\ x = z. \end{cases} \quad (\mathbf{n}^0 = \frac{-\mathbf{i} + \mathbf{k}}{\sqrt{2}})a=yi−xj+zk;L:{x2+y2+z2=1,x=z.(n0=−i+k2)
  4. Dado el campo vectorial de velocidades v v v\mathbf{v}v de los puntos de un cuerpo sólido que gira con la velocidad angular constante ω ω omega\omegaω alrededor del eje O z O z OzOzOz. Calcular la circulación de este campo por la circunferencia
L : { x = a cos ⁡ t , y = a sin ⁡ t , 0 ≤ t < 2 π , z = 0. L : x = a cos ⁡ t , y = a sin ⁡ t , 0 ≤ t < 2 π , z = 0. L:{[x=a cos t","],[y=a sin t","quad0 <= t < 2pi","],[z=0.]:}L: \begin{cases} x = a \cos t, \\ y = a \sin t, \quad 0 \leq t < 2\pi, \\ z = 0. \end{cases}L:{x=acos⁡t,y=asin⁡t,0≤t<2π,z=0.
directamente y por el teorema de Stokes.
Continuaré con la siguiente sección si lo deseas.