§ 10. LÍNEAS VECTORIALES. ECUACIONES DIFERENCIALES DE LAS LÍNEAS VECTORIALES
Definición 1. Si en cada punto MM del espacio, o en una parte del mismo, está determinada la magnitud vectorial a=a(M)\mathbf{a} = \mathbf{a}(M), se dice que es dado un campo vectorial.
Si en el espacio está introducido el sistema de coordenadas cartesianas, entonces la proyección del campo vectorial a=a(M)\mathbf{a} = \mathbf{a}(M) es igual a la de las tres funciones escalares del punto P(M)P(M), Q(M)Q(M), R(M)R(M), así que
a(M)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k.\mathbf{a}(M) = P(x, y, z) \mathbf{i} + Q(x, y, z) \mathbf{j} + R(x, y, z) \mathbf{k}.
Definición 2. Línea vectorial del campo vectorial a\mathbf{a} se llama la curva en cada punto MM de la cual el vector a\mathbf{a} está dirigido tangente a esta curva.
Sea el campo vectorial determinado por el vector
a=Pi+Qj+Rk,\mathbf{a} = P \mathbf{i} + Q \mathbf{j} + R \mathbf{k},
donde
P=P(x,y,z),quad Q=Q(x,y,z),quad R=R(x,y,z),P = P(x, y, z), \quad Q = Q(x, y, z), \quad R = R(x, y, z),
son funciones continuas de x,y,zx, y, z que tienen derivadas parciales limitadas de primer orden.
Entonces, las ecuaciones diferenciales de las líneas vectoriales tienen la forma
La integración del sistema de dos ecuaciones diferenciales (1) da un sistema de dos ecuaciones finitas
varphi_(1)(x,y,z)=C_(1),quadvarphi_(2)(x,y,z)=C_(2),\varphi_1(x, y, z) = C_1, \quad \varphi_2(x, y, z) = C_2,
las cuales, consideradas en conjunto, determinan la familia paramétrica de las líneas vectoriales
{:(2)varphi_(1)(x","y","z)=C_(1)","varphi_(2)(x","y","z)=C_(2).:}\varphi_1(x, y, z) = C_1, \\
\varphi_2(x, y, z) = C_2. \tag{2}
Si en algún dominio GG para el sistema (1) están cumplidas las condiciones del teorema acerca de la existencia y la unicidad de la solución de una ecuación diferencial, entonces por cada punto M_(0)(x_(0),y_(0),z_(0))in GM_0(x_0, y_0, z_0) \in G pasa la única línea vectorial
varphi_(1)(x,y,z)=varphi_(1)(x_(0),y_(0),z_(0)),varphi_(2)(x,y,z)=varphi_(2)(x_(0),y_(0),z_(0)).\varphi_1(x, y, z) = \varphi_1(x_0, y_0, z_0), \\
\varphi_2(x, y, z) = \varphi_2(x_0, y_0, z_0).
Ejemplo 1. Hallar las líneas vectoriales del campo vectorial a=[c,r]\mathbf{a} = [\mathbf{c}, \mathbf{r}], donde c\mathbf{c} es un vector constante.
Solución. Tenemos
c=c_(1)i+c_(2)j+c_(3)k,quadr=xi+yj+zk,\mathbf{c} = c_1 \mathbf{i} + c_2 \mathbf{j} + c_3 \mathbf{k}, \quad \mathbf{r} = x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k},
así que
a=[c,r]=|[i,j,k],[c_(1),c_(2),c_(3)],[x,y,z]|=(c_(2)z-c_(3)y)i+(c_(3)x-c_(1)z)j+(c_(1)y-c_(2)x)k.\mathbf{a} = [\mathbf{c}, \mathbf{r}] =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
c_1 & c_2 & c_3 \\
x & y & z
\end{vmatrix} = (c_2 z - c_3 y) \mathbf{i} + (c_3 x - c_1 z) \mathbf{j} + (c_1 y - c_2 x) \mathbf{k}.
Las ecuaciones diferenciales de las líneas vectoriales son
{:(3)(dx)/(c_(2)z-c_(3)y)=(dy)/(c_(3)x-c_(1)z)=(dz)/(c_(1)y-c_(2)x).:}\frac{dx}{c_2 z - c_3 y} = \frac{dy}{c_3 x - c_1 z} = \frac{dz}{c_1 y - c_2 x}. \tag{3}
Multiplicamos el numerador y denominador de la primera fracción por xx, de la segunda por yy, de la tercera por zz y las sumamos miembro a miembro. Utilizando la propiedad de las proporciones obtenemos
(dx)/(c_(2)z-c_(3)y)=(dy)/(c_(3)x-c_(1)z)=(dz)/(c_(1)y-c_(2)x)=(xdx+ydy+zdz)/(0).\frac{dx}{c_2 z - c_3 y} = \frac{dy}{c_3 x - c_1 z} = \frac{dz}{c_1 y - c_2 x} = \frac{x \, dx + y \, dy + z \, dz}{0}.
Ahora multiplicamos el numerador y denominador de la primera fracción (3) por c_(1)c_1, de la segunda por c_(2)c_2, de la tercera por c_(3)c_3 y después de sumar miembro a miembro obtenemos
(dx)/(c_(2)z-c_(3)y)=(dy)/(c_(3)x-c_(1)z)=(dz)/(c_(1)y-c_(2)x)=(c_(1)dx+c_(2)dy+c_(3)dz)/(0),\frac{dx}{c_2 z - c_3 y} = \frac{dy}{c_3 x - c_1 z} = \frac{dz}{c_1 y - c_2 x} = \frac{c_1 \, dx + c_2 \, dy + c_3 \, dz}{0},
c_(1)x+c_(2)y+c_(3)z=A_(2),quadA_(2)="const".c_1 x + c_2 y + c_3 z = A_2, \quad A_2 = \text{const}.
Las ecuaciones que buscamos de las líneas vectoriales son
x^(2)+y^(2)+z^(2)=A_(1),c_(1)x+c_(2)y+c_(3)z=A_(2).x^2 + y^2 + z^2 = A_1, \\
c_1 x + c_2 y + c_3 z = A_2.
Estas ecuaciones muestran que las líneas vectoriales se obtienen como resultado de la intersección de esferas que tienen un centro común en el origen de las coordenadas con los planos perpendiculares al vector c=c_(1)i+c_(2)j+c_(3)k\mathbf{c} = c_1 \mathbf{i} + c_2 \mathbf{j} + c_3 \mathbf{k}. De aquí se deduce que las líneas vectoriales son circunferencias cuyos centros se encuentran en la recta que pasa por el origen de las coordenadas en dirección del vector c\mathbf{c}. Los planos de las circunferencias son perpendiculares a la línea recta indicada (fig. 14).
Ejemplo 2. Hallar la línea vectorial del campo
a=-yi+xj+bk,\mathbf{a} = -y \mathbf{i} + x \mathbf{j} + b \mathbf{k},
que pasa por el punto (1,0,0)(1, 0, 0).
Solución. Las ecuaciones diferenciales de las líneas vectoriales son
x=sqrt(C_(1))cos t,quad y=sqrt(C_(1))sin t.x = \sqrt{C_1} \cos t, \quad y = \sqrt{C_1} \sin t.
En este caso la ecuación
(dy)/(x)=(dz)/(b)\frac{dy}{x} = \frac{dz}{b}
tiene la forma
(sqrt(C_(1))cos tdt)/(sqrt(C_(1))cos t)=(dz)/(b)quad"o"quad dz=bdt,\frac{\sqrt{C_1} \cos t \, dt}{\sqrt{C_1} \cos t} = \frac{dz}{b} \quad \text{o} \quad dz = b \, dt,
de donde hallamos
z=bt+C_(2).z = b t + C_2.
Y bien, las ecuaciones paramétricas de las líneas vectoriales serán
{:(4){[x=sqrt(C_(1))cos t","],[y=sqrt(C_(1))sin t","],[z=bt+C_(2).]:}:}\begin{cases}
x = \sqrt{C_1} \cos t, \\
y = \sqrt{C_1} \sin t, \\
z = b t + C_2.
\end{cases} \tag{4}
Si la línea vectorial se hace pasar a través del punto (1,0,0)(1, 0, 0), obtendremos
1=sqrt(C_(1))cos t,0=sqrt(C_(1))sin t,0=bt+C_(2).1 = \sqrt{C_1} \cos t, \\
0 = \sqrt{C_1} \sin t, \\
0 = b t + C_2.
Las dos primeras ecuaciones de este sistema se satisfacen para t=2k pi,k=0,+-1t = 2k\pi, k = 0, \pm 1, y también cuando C_(1)=1C_1 = 1. Al tomar k=0k = 0, obtenemos t=0t = 0 y la última ecuación del sistema da C_(2)=0C_2 = 0. Por tanto la línea vectorial buscada que pasa a través del punto (1,0,0)(1, 0, 0), será
{[x=cos t","],[y=sin t","],[z=bt.]:}\begin{cases}
x = \cos t, \\
y = \sin t, \\
z = b t.
\end{cases}
Esto es la línea helicoidal.
Hallar las líneas vectoriales de los campos vectoriales siguientes:
r=xi+yj+zk\mathbf{r} = x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k}.
a=a_(1)i+a_(2)j+a_(3)k\mathbf{a} = a_1 \mathbf{i} + a_2 \mathbf{j} + a_3 \mathbf{k}, donde a_(1),a_(2),a_(3)a_1, a_2, a_3 son constantes.
que pasa por el punto ((1)/(2),-(1)/(2),1)\left( \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1 \right).
El campo vectorial se llama plano si todos los vectores a\mathbf{a} se encuentran en los planos paralelos y el campo es el mismo en cada uno de estos planos. Si en alguno de estos planos introducimos el sistema de coordenadas cartesianas xOyxOy, entonces los vectores del campo no tendrán componentes en el eje OzOz y las coordenadas del vector no van a depender de zz, es decir
(dy)/(dx)=(Q(x,y))/(P(x,y)),quad z="const".\frac{dy}{dx} = \frac{Q(x, y)}{P(x, y)}, \quad z = \text{const}.
De aquí se ve que las líneas vectoriales del campo plano son las curvas planas que se encuentran en los planos paralelos al xOyxOy.
Ejemplo 3. Hallar las líneas vectoriales del campo magnético de un conductor infinito de corriente eléctrica.
Solución. Supongamos que el conductor está dirigido por el eje OzOz y en la misma dirección pasa la corriente II. El vector de la intensidad H\mathbf{H} del campo magnético que engendra la corriente es igual a
donde I=I*k\mathbf{I} = I \cdot \mathbf{k} es el vector de la corriente, r\mathbf{r} es el radio vector del punto M(x,y,z)M(x, y, z), rho\rho es la distancia desde el eje del conductor hasta el punto MM. Abriendo los paréntesis del producto vectorial (5), obtendremos
Las líneas vectoriales son líneas de intersección de los planos (c,r)="const"(\mathbf{c}, \mathbf{r}) = \text{const} con las esferas r^(2)="const"r^2 = \text{const}.
Hallar las líneas vectoriales de los campos vectoriales siguientes:
a=f(r)*r\mathbf{a} = f(r) \cdot \mathbf{r}.
a=(a_(0),r)b_(0)\mathbf{a} = (\mathbf{a}_0, \mathbf{r}) \mathbf{b}_0, donde a_(0),b_(0)\mathbf{a}_0, \mathbf{b}_0 son los vectores constantes.
§ 11. FLUJO DEL CAMPO VECTORIAL.
MÉTODOS DEL CÁLCULO DEL FLUJO
I. Flujo del campo vectorial.
Sea que tenemos el campo vectorial
a(M)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k,\mathbf{a}(M) = P(x, y, z) \mathbf{i} + Q(x, y, z) \mathbf{j} + R(x, y, z) \mathbf{k},
donde las coordenadas P(x,y,z)P(x, y, z), Q(x,y,z)Q(x, y, z), R(x,y,z)R(x, y, z) del vector a(M)\mathbf{a}(M) son continuas (el campo a(M)\mathbf{a}(M) es continuo) en algún dominio GG. Sea SS alguna superficie bilateral plana o parcialmente plana en la cual está escogido un lado determinado (la superficie orientada).
Definición. Flujo Pi\Pi del campo vectorial a(M)\mathbf{a}(M) a través de la superficie orientada SS se llama la integral superficial del primer género por la superficie SS de la proyección del vector a(M)\mathbf{a}(M) a la normal n(M)\mathbf{n}(M) hacia esta superficie:
donde n^(0)\mathbf{n}^0 es el vector de unidad (versor) de la normal n\mathbf{n} hacia el lado escogido de la superficie SS; dSdS es el elemento de área de la superficie SS.
En el caso de una superficie cerrada vamos a elegir siempre la normal exterior n\mathbf{n}, dirigida fuera del dominio limitado con la superficie SS.
Si alpha,beta,gamma\alpha, \beta, \gamma son los ángulos que forman con los ejes de coordenadas Ox,Oy,OzOx, Oy, Oz la normal n\mathbf{n} a la superficie SS, entonces se puede expresar el flujo a través de la integral superficial del segundo género Pi=∬_(S)(a,n^(0))dS=∬_(S)[P(x,y,z)cos alpha+Q(x,y,z)cos beta+R(x,y,z)cos gamma]dS\Pi = \iint_S (\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) \, dS = \iint_S \left[ P(x, y, z) \cos \alpha + Q(x, y, z) \cos \beta + R(x, y, z) \cos \gamma \right] \, dS
o Pi=∬_(S)(a,n^(0))dS=∬_(S)P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dxdz+R(x,y,z)dxdy,\Pi = \iint_S (\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) \, dS = \iint_S P(x, y, z) \, dy \, dz + Q(x, y, z) \, dx \, dz + R(x, y, z) \, dx \, dy,
donde cos alphadS=dydz,quad cos betadS=dxdz,quad cos gammadS=dxdy.\cos \alpha \, dS = dy \, dz, \quad \cos \beta \, dS = dx \, dz, \quad \cos \gamma \, dS = dx \, dy.
PROPIEDADES PRINCIPALES DEL FLUJO DEL CAMPO VECTORIAL
a) El flujo cambia el signo al inverso al modificar la orientación de la superficie (es decir, con la variación de la orientación de la normal n\mathbf{n} a la superficie SS):
donde S^(+)S^+ es el lado de la superficie SS, en la cual se elige la normal n\mathbf{n}, y S^(-)S^- es el lado de la superficie SS, en la cual se toma la normal -n-\mathbf{n} (véase [6]).
donde lambda\lambda y mu\mu son los números constantes.
c) Propiedad de aditividad: si la superficie SS se compone de algunas partes planas S_(1),S_(2),dots,S_(m)S_1, S_2, \ldots, S_m, entonces el flujo del campo vectorial a(M)\mathbf{a}(M) a través de SS es igual a la suma de los flujos del vector a(M)\mathbf{a}(M) a través de las superficies S_(1),S_(2),dots,S_(m)S_1, S_2, \ldots, S_m:
Pi=sum_(k=1)^(m)∬_(S_(k))(a,n^(0))dS.\Pi = \sum_{k=1}^m \iint_{S_k} (\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) \, dS.
Esta propiedad permite extender el concepto del flujo a las superficies parcialmente planas.
Ejemplo 1. Hallar el flujo del vector a=i\mathbf{a} = \mathbf{i} a través de un área perpendicular al eje OxOx y que tiene la forma del rectángulo cuyos lados son iguales a 1 y 2 (fig. 16), en la dirección positiva del eje OxOx.
Solución. Según la definición del flujo del vector a través de la superficie SS tendremos
Pi=∬_(S)(a,n^(0))dS.\Pi = \iint_S (\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) \, dS.
En nuestro caso a=i\mathbf{a} = \mathbf{i}, n^(0)=i\mathbf{n}^0 = \mathbf{i}, entonces (a,n^(0))=(i,i)=1(\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) = (\mathbf{i}, \mathbf{i}) = 1. Teniendo en cuenta que el área del rectángulo es igual a 2, obtenemos
Pi=∬_(S)1dS=2.\Pi = \iint_S 1 \, dS = 2.
Observación. Eligiendo el vector unitario (versor) de la normal al área SS de tal modo que n^(0)=-i\mathbf{n}^0 = -\mathbf{i}, obtendríamos Pi=-2\Pi = -2.
Ejemplo 2. Calcular el flujo del campo vectorial a=r\mathbf{a} = \mathbf{r}, donde r\mathbf{r} es el radio vector a través del recto cilindro circular de la altura hh, el radio de base RR y el eje OzOz.
Solución. Superficie SS se compone de la superficie lateral sigma_(1)\sigma_1, de la base superior sigma_(2)\sigma_2 y de la base inferior sigma_(3)\sigma_3 del cilindro. El flujo buscado Pi\Pi en virtud de la propiedad de aditividad será igual a Pi=Pi_(1)+Pi_(2)+Pi_(3)\Pi = \Pi_1 + \Pi_2 + \Pi_3, donde Pi_(1),Pi_(2),Pi_(3)\Pi_1, \Pi_2, \Pi_3 son los flujos del campo dado a través de sigma_(1),sigma_(2),sigma_(3)\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3, respectivamente.
La normal exterior n^(0)\mathbf{n}^0 en la superficie lateral sigma_(1)\sigma_1 del cilindro es paralela al plano xOyxOy, por eso
(a,n^(0))=(r,n^(0))="pr"_(n^(0))r=R(\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) = (\mathbf{r}, \mathbf{n}^0) = \text{pr}_{\mathbf{n}^0} \mathbf{r} = R
(véase la fig. 17). Por consiguiente,
Pi_(1)=∬_(sigma_(1))(a,n^(0))dS=R∬_(sigma_(1))dS=R*2pi Rh=2piR^(2)h.\Pi_1 = \iint_{\sigma_1} (\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) \, dS = R \iint_{\sigma_1} dS = R \cdot 2\pi R h = 2\pi R^2 h.
En la base superior sigma_(2)\sigma_2 la normal n^(0)\mathbf{n}^0 es paralela al eje OzOz, por eso se puede considerar n^(0)=k\mathbf{n}^0 = \mathbf{k} (fig. 17). Entonces (a,n^(0))=(r,k)="pr"_(Oz)r=h,(\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) = (\mathbf{r}, \mathbf{k}) = \text{pr}_{Oz} \mathbf{r} = h,
y lo que significa Pi_(2)=∬_(sigma_(2))(a,n^(0))dS=h∬_(sigma_(2))dS=h*piR^(2)=piR^(2)h.\Pi_2 = \iint_{\sigma_2} (\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) \, dS = h \iint_{\sigma_2} dS = h \cdot \pi R^2 = \pi R^2 h.
En la base inferior sigma_(3)\sigma_3 la normal n^(0)\mathbf{n}^0 es paralela al eje OzOz, pero dirigida en sentido contrario, por lo que n^(0)=-k\mathbf{n}^0 = -\mathbf{k}. Entonces
Finalmente, el flujo total Pi\Pi a través de la superficie del cilindro es:
Pi=Pi_(1)+Pi_(2)+Pi_(3)=2piR^(2)h+piR^(2)h+0=3piR^(2)h.\Pi = \Pi_1 + \Pi_2 + \Pi_3 = 2\pi R^2 h + \pi R^2 h + 0 = 3\pi R^2 h.
Ejemplo 3. Calcular el flujo del campo vectorial a=r\mathbf{a} = \mathbf{r} a través de la superficie de una esfera de radio RR centrada en el origen.
Solución. La superficie de la esfera SS está definida por x^(2)+y^(2)+z^(2)=R^(2)x^2 + y^2 + z^2 = R^2. La normal exterior n^(0)\mathbf{n}^0 en cualquier punto de la esfera es paralela al vector de posición r\mathbf{r}, por lo que:
Pi=∬_(S)(a,n^(0))dS=∬_(S)RdS=R*4piR^(2)=4piR^(3).\Pi = \iint_S (\mathbf{a}, \mathbf{n}^0) \, dS = \iint_S R \, dS = R \cdot 4\pi R^2 = 4\pi R^3.
Ejemplo 4. Calcular el flujo del campo vectorial a=xi+yj+zk\mathbf{a} = x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k} a través de la superficie lateral de un cono circular recto de altura hh y radio de base RR, con el vértice en el origen y el eje a lo largo del eje OzOz.
Solución. La superficie lateral del cono SS está definida por z=sqrt(x^(2)+y^(2))z = \sqrt{x^2 + y^2} con 0 <= z <= h0 \leq z \leq h. La normal exterior n^(0)\mathbf{n}^0 en cualquier punto de la superficie lateral del cono es:
1°. Método de proyección a uno de los planos de coordenadas.
Sea que la superficie abierta SS se proyecta recíproca y unívocamente al plano xOyxOy en el dominio D_(xy)D_{xy}. En este caso, la superficie SS puede prefijarse por la ecuación z=f(x,y)z = f(x, y), y puesto que el segmento del área dSdS de esta superficie es igual a
Si el ángulo entre el eje OzOz y la normal n^(0)\mathbf{n}^0 es agudo, entonces en las fórmulas (2) y (3) se toma el signo «+», si el ángulo gamma\gamma es obtuso, entonces se toma el signo «-». El símbolo
significa que en la función subintegral zz se sustituye por f(x,y)f(x, y).
Si resulta cómodo proyectar la superficie SS a los planos de coordenadas yOzyOz o xOzxOz, entonces para calcular el flujo Pi\Pi se usan respectivamente las fórmulas:
La fórmula (4) se usa en el caso, cuando la superficie SS se proyecta recíproca y unívocamente en el dominio D_(yz)D_{yz} del plano yOzyOz, y, por consiguiente, puede prefijarse por la ecuación x=varphi(y,z)x = \varphi(y, z); cos alpha\cos \alpha es como coeficiente para el versor i\mathbf{i} en la fórmula
El signo «+» se toma en el caso, si el ángulo alpha\alpha entre el eje OxOx y la normal n^(0)\mathbf{n}^0 es agudo, si alpha\alpha es el ángulo obtuso, entonces se emplea el signo «-». La fórmula (5) se usa con la unívoca proyección recíprocamente de la superficie SS al plano xOzxOz; en este caso SS puede ser prefijada por la ecuación y=psi(x,z)y = \psi(x, z) y entonces
Si el ángulo beta\beta entre el eje OyOy y la normal n^(0)\mathbf{n}^0 es agudo, entonces se toma el signo «+», si el ángulo beta\beta es obtuso, se toma el signo «-».
Observación. En el caso, cuando la superficie SS está prefijada implícitamente por la ecuación Phi(x,y,z)=0\Phi(x, y, z) = 0, el vector unitario de la normal
donde el signo en el segundo miembro se determina por la elección de la normal a la superficie SS. Para calcular el flujo Pi\Pi del campo vectorial a\mathbf{a} a través de la superficie SS es necesario proyectarla recíproca y unívocamente al alguno de los planos de coordenadas xOy,xOz,yOzxOy, xOz, yOz, lo que se puede realizar, si la ecuación Phi(x,y,z)=0\Phi(x, y, z) = 0 es unívocamente resoluble, respectivamente, con respecto a z(z=f(x,y))z (z = f(x, y)), y(y=psi(x,z))y (y = \psi(x, z)) o x(x=varphi(y,z))x (x = \varphi(y, z)), después de esto se puede usar una de las fórmulas (1), (4), (5).
a través del lado superior del triángulo ABCABC con los vértices en los puntos A(1,0,0)A(1, 0, 0), B(0,1,0)B(0, 1, 0), C(0,0,1)C(0, 0, 1).
Solución. La ecuación del plano, en el cual está el triángulo ABCABC, tiene la forma x+y+z=1x + y + z = 1, de donde z=1-x-yz = 1 - x - y. El triángulo ABCABC se proyecta recíproca y unívocamente al plano xOyxOy en el dominio D_(xy)D_{xy}, es decir, al triángulo OABOAB (fig. 18). Según la condición la normal n^(0)\mathbf{n}^0 al plano, en el cual está el triángulo ABCABC, forma el ángulo agudo gamma\gamma con el eje OzOz, por eso en la fórmula (2) tomamos el signo «+» y obtenemos
n^(0)=("grad"(x+y+z-1))/(|"grad"(x+y+z-1)|)=(1)/(sqrt3)i+(1)/(sqrt3)j+(1)/(sqrt3)k.\mathbf{n}^0 = \frac{\text{grad} (x + y + z - 1)}{|\text{grad} (x + y + z - 1)|} = \frac{1}{\sqrt{3}} \mathbf{i} + \frac{1}{\sqrt{3}} \mathbf{j} + \frac{1}{\sqrt{3}} \mathbf{k}.
a=y^(2)j+zk\mathbf{a} = y^2 \mathbf{j} + z \mathbf{k}
a través del segmento de la superficie z=x^(2)+y^(2)z = x^2 + y^2, cortado por el plano z=2z = 2. Se toma la normal exterior respecto al espacio limitado por el paraboloide.
Solución. La superficie dada (el paraboloide de rotación) se proyecta recíproca y unívocamente al plano xOyxOy en el círculo D_(xy)D_{xy} (fig. 19). Hallamos el versor de la normal n^(0)\mathbf{n}^0 a la superficie SS:
Según la condición del problema la normal n^(0)\mathbf{n}^0 forma el ángulo obtuso gamma\gamma con el eje OzOz, por eso delante de la fracción es necesario tomar el signo «-». De tal modo,
El dominio de integración D_(xy)D_{xy} es el círculo con el centro en el origen de coordenadas del radio R=sqrt2R = \sqrt{2}. Introduciendo las coordenadas polares x=rho cos varphix = \rho \cos \varphi, y=rho sin varphiy = \rho \sin \varphi, obtendremos
La integral de sin^(3)varphi\sin^3 \varphi sobre [0,2pi][0, 2\pi] es cero, ya que sin^(3)varphi\sin^3 \varphi es una función impar y el intervalo de integración es simétrico. Por lo tanto,
Pi=0-2pi=-2pi.\Pi = 0 - 2\pi = -2\pi.
§ 12. FLUJO DEL VECTOR A TRAVÉS DE LA SUPERFICIE CERRADA. TEOREMA DE GAUSS—OSTROGRADSKI
Teorema. Si en algún dominio GG del espacio las coordenadas del vector
a=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k\mathbf{a} = P(x, y, z) \mathbf{i} + Q(x, y, z) \mathbf{j} + R(x, y, z) \mathbf{k}
son continuas y tienen las derivadas parciales continuas (del P)/(del x)\frac{\partial P}{\partial x}, (del Q)/(del y)\frac{\partial Q}{\partial y}, (del R)/(del z)\frac{\partial R}{\partial z}, entonces el flujo del vector a\mathbf{a} a través de cualquier superficie cerrada parcialmente plana Sigma\Sigma que se encuentra en el dominio GG, es igual a la integral triple de (del P)/(del x)+(del Q)/(del y)+(del R)/(del z)\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} por el dominio VV limitado mediante la superficie Sigma\Sigma:
La integral (2) es muy cómodo calcularla en las coordenadas esféricas r,theta,varphir, \theta, \varphi. Tenemos
x=r sin theta cos varphi,quad y=r sin theta sin varphi,quad z=r cos thetax = r \sin \theta \cos \varphi, \quad y = r \sin \theta \sin \varphi, \quad z = r \cos \theta
donde VV es el volumen del toro. Para calcular el volumen VV conviene emplear el teorema de Gülden acerca del volumen del cuerpo de revolución según el cual este volumen es igual al producto del área de la figura que gira en la vía que describe el centro de masas de la misma durante la rotación.
Sea R_(1)R_1 y R_(2)R_2 los radios interior y exterior del toro (fig. 27). El área SS del círculo que forma el toro durante su revolución, es igual a
La distancia de la vía que describe el centro de masas —el centro de este círculo— es la longitud ll de la circunferencia del radio (R_(1)+R_(2))/(2)\frac{R_1 + R_2}{2}, es decir
§ 13. DIVERGENCIA DEL CAMPO VECTORIAL. CAMPO SOLENOIDAL
El concepto del flujo del vector a través de la superficie cerrada conduce al concepto de la divergencia del campo. Este concepto da alguna característica cuantitativa del campo en cada uno de sus puntos.
Sea MM un punto a estudiar del campo. Vamos a rodearlo con la superficie Sigma\Sigma de una forma arbitraria, por ejemplo, con una esfera del radio suficientemente pequeño. Sea VV el espacio limitado por la superficie Sigma\Sigma y su volumen sea VV. Estudiemos la relación
Definición 1. Si la relación (1) tiene el límite finito, cuando el espacio VV se tiende al punto MM, entonces este límite se lo llaman la divergencia del campo vectorial (la divergencia del vector a\mathbf{a}) en el punto MM y se designa con el símbolo "div"a(M)\text{div} \, \mathbf{a}(M). Por lo que
La fórmula (2) da la definición invariante de la divergencia. Esta definición significa que la divergencia del campo a\mathbf{a} en el punto MM es la densidad volumétrica del flujo del vector a\mathbf{a} en este punto.
Los puntos MM del campo vectorial a(M)\mathbf{a}(M), en los cuales "div"a > 0\text{div} \, \mathbf{a} > 0 se llaman fuentes, mientras que los puntos, en los cuales "div"a < 0\text{div} \, \mathbf{a} < 0 se llaman sumideros del campo vectorial.
La divergencia del campo vectorial es la función escalar de los puntos del campo.
Si las coordenadas del vector
a(M)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k\mathbf{a}(M) = P(x, y, z) \mathbf{i} + Q(x, y, z) \mathbf{j} + R(x, y, z) \mathbf{k}
tienen las derivadas parciales continuas (del P)/(del x)\frac{\partial P}{\partial x}, (del Q)/(del y)\frac{\partial Q}{\partial y}, (del R)/(del z)\frac{\partial R}{\partial z} en el entorno del punto M(x,y,z)M(x, y, z), entonces, utilizando la definición invariante de la divergencia obtenemos del teorema de Gauss — Ostrogradski que
Ejemplo 1. Aplicando la definición invariante calcular la divergencia del vector a=xi\mathbf{a} = x \mathbf{i} en el punto O(0,0,0)O(0, 0, 0) escogiendo en calidad de las superficies sigma\sigma que rodean el punto OO, las esferas sigma _(epsilon)\sigma_\epsilon del radio epsilon\epsilon con el centro en este punto.
Solución. Según la definición de la divergencia en el punto dado tenemos
del vector dado a través de la esfera sigma _(epsilon)\sigma_\epsilon. El versor de la normal n^(0)\mathbf{n}^0 a la esfera sigma _(epsilon)\sigma_\epsilon está dirigido por el radio de la esfera, debido a lo que se puede escribir:
Pasando a las coordenadas en la esfera sigma _(epsilon)\sigma_\epsilon
x=epsilon cos varphi sin theta,quad y=epsilon sin varphi sin theta,quad z=epsilon cos theta,x = \epsilon \cos \varphi \sin \theta, \quad y = \epsilon \sin \varphi \sin \theta, \quad z = \epsilon \cos \theta,
Solución. Tenemos r=xi+yj+zk\mathbf{r} = x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k}, así que P=xP = x, Q=yQ = y, R=zR = z, por consiguiente, según la fórmula (3)
Ejemplo 3. Calcular "div"(u*a)\text{div} \, (u \cdot \mathbf{a}), donde u(M)u(M) es la función escalar, a(M)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k\mathbf{a}(M) = P(x, y, z) \mathbf{i} + Q(x, y, z) \mathbf{j} + R(x, y, z) \mathbf{k} es la función vectorial.
Solución. Utilizando la fórmula (3), hallamos
"div"(ua)=(del(uP))/(del x)+(del(uQ))/(del y)+(del(uR))/(del z)=u(del P)/(del x)+P(del u)/(del x)+u(del Q)/(del y)+Q(del u)/(del y)+u(del R)/(del z)+R(del u)/(del z).\text{div} \, (u \mathbf{a}) = \frac{\partial (u P)}{\partial x} + \frac{\partial (u Q)}{\partial y} + \frac{\partial (u R)}{\partial z} = u \frac{\partial P}{\partial x} + P \frac{\partial u}{\partial x} + u \frac{\partial Q}{\partial y} + Q \frac{\partial u}{\partial y} + u \frac{\partial R}{\partial z} + R \frac{\partial u}{\partial z}.
Definición. Si en todos los puntos MM de cierto dominio GG la divergencia del campo vectorial (prefijado en el dominio GG) es igual a cero
"div"a(M)=0,\text{div} \, \mathbf{a}(M) = 0,
entonces se dice que el campo es solenoidal en este dominio.
De tal modo, según la definición, el campo solenoidal no tiene fuentes ni sumideros.
Del teorema de Gauss-Ostrogradski sigue que en el campo solenoidal el flujo del vector a=a(M)\mathbf{a} = \mathbf{a}(M) a través de toda superficie cerrada sigma\sigma que se encuentra en este campo es igual a cero
En el campo solenoidal GG las líneas vectoriales no pueden empezarse ni terminarse. Ellas pueden ser las curvas cerradas o pueden tener sus extremos en el límite del campo.
La ecuación
"div"a(M)=0\text{div} \, \mathbf{a}(M) = 0
se llama en hidrodinámica ecuación de la continuidad del líquido incompresible.
En este caso la cantidad del líquido que sale a través de alguna superficie cerrada sigma\sigma, siempre es igual a la cantidad del líquido entrante y el flujo completo es igual a cero.
¿Cuáles de los siguientes campos vectoriales son solenoidales?
a=x(z^(2)-y^(2))i+y(x^(2)-z^(2))j+z(y^(2)-x^(2))k\mathbf{a} = x (z^2 - y^2) \mathbf{i} + y (x^2 - z^2) \mathbf{j} + z (y^2 - x^2) \mathbf{k}.
es solenoidal en toda región que no contiene el origen de las coordenadas O(0,0,0)O(0, 0, 0).
159. ¿Para qué condición el campo vectorial a=varphi(r)r\mathbf{a} = \varphi(r) \mathbf{r} será solenoidal?
Dado que tenemos el campo del vector a(M)\mathbf{a}(M) (que no es obligatoriamente solenoidal). Examinemos en el campo un contorno orientado cerrado LL. La superficie Sigma\Sigma que está limitada por la línea LL, la llamamos superficie que está tendida sobre el contorno LL.
Conviene orientar la normal n\mathbf{n} a la superficie Sigma\Sigma de tal modo que del extremo de la normal el elegido recorrido del contorno LL sea visto realizando el movimiento en el sentido antihorario (fig. 29).
160. Demostrar que en el campo solenoidal el flujo del vector a(M)\mathbf{a}(M) no depende del tipo de la superficie Sigma\Sigma que está tendida sobre el contorno LL y sólo depende del mismo contorno.
§ 14. INTEGRAL LINEAL EN EL CAMPO VECTORIAL. CIRCULACIÓN DEL CAMPO VECTORIAL
Sean dados el campo vectorial continuo a=a(M)\mathbf{a} = \mathbf{a}(M) y una curva LL parcialmente plana, en la cual está elegida la dirección positiva (curva orientada).
Definición 1. La integral lineal del vector a=a(M)\mathbf{a} = \mathbf{a}(M) a lo largo de la curva orientada LL es la integral curvilínea del primer género (la integral por longitud del arco de la curva) del producto escalar (a,tau^(0))(\mathbf{a}, \boldsymbol{\tau}^0)
int _(L)(a,tau^(0))ds,\int_L (\mathbf{a}, \boldsymbol{\tau}^0) \, ds,
donde tau^(0)=tau^(0)(M)\boldsymbol{\tau}^0 = \boldsymbol{\tau}^0(M) es el versor del vector tangente a la línea LL, la orientación del cual coincide con la orientación de LL; dsds es la diferencial de la longitud del arco ss de la curva LL.
Si r=r(M)\mathbf{r} = \mathbf{r}(M) es el radio vector de un punto arbitrario MM de la línea LL, entonces la integral lineal en el campo a(M)\mathbf{a}(M) se puede escribir en la forma siguiente:
Si en el campo vectorial está introducido el sistema rectangular de coordenadas OxyzOxyz, entonces r=xi+yj+zk\mathbf{r} = x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k},
a=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k,\mathbf{a} = P(x, y, z) \mathbf{i} + Q(x, y, z) \mathbf{j} + R(x, y, z) \mathbf{k},
y la integral lineal (1) se expresará a través de la integral curvilínea del segundo género
int _(L)(a,dr)=int _(L)P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz.\int_L (\mathbf{a}, d\mathbf{r}) = \int_L P(x, y, z) \, dx + Q(x, y, z) \, dy + R(x, y, z) \, dz.
En el caso cuando a=a(M)\mathbf{a} = \mathbf{a}(M) es el campo de fuerzas, la integral lineal (1) da la magnitud del trabajo de este campo a lo largo de la línea LL.
donde AA es el punto inicial y BB es el punto final de la línea LL.
CÁLCULO DE LA INTEGRAL LINEAL EN EL CAMPO VECTORIAL
Sea la línea LL prefijada por las ecuaciones paramétricas
x=varphi(t),quad y=psi(t),quad z=chi(t),quadt_(0) <= t <= t_(1),x = \varphi(t), \quad y = \psi(t), \quad z = \chi(t), \quad t_0 \leq t \leq t_1,
al mismo tiempo en el punto inicial AA de la línea LL el parámetro tt toma el valor t=t_(0)t = t_0, y en el punto final BB de la línea LL obtiene el valor t=t_(1)t = t_1 (la dirección en la línea LL corresponde al incremento del parámetro tt desde t_(0)t_0 hasta t_(1)t_1); las funciones varphi(t),psi(t),chi(t)\varphi(t), \psi(t), \chi(t) tienen las derivadas continuas en el segmento [t_(0),t_(1)][t_0, t_1]. Entonces
int _(L)(a,dr)=int_(AB)(a,dr)=int_(t_(0))^(t_(1)){P[varphi(t),psi(t),chi(t)]varphi^(')(t)+Q[varphi(t),psi(t),chi(t)]psi^(')(t)+R[varphi(t),psi(t),chi(t)]chi^(')(t)}dt.\int_L (\mathbf{a}, d\mathbf{r}) = \int_{AB} (\mathbf{a}, d\mathbf{r}) = \int_{t_0}^{t_1} \left\{ P [\varphi(t), \psi(t), \chi(t)] \varphi'(t) + Q [\varphi(t), \psi(t), \chi(t)] \psi'(t) + R [\varphi(t), \psi(t), \chi(t)] \chi'(t) \right\} dt.
Si la línea LL está prefijada por el sistema de ecuaciones y=psi(x)y = \psi(x), z=chi(x)z = \chi(x), a <= x <= ba \leq x \leq b, entonces
Las fórmulas análogas pueden escribirse también para aquellos casos, cuando la línea se prefija con uno de los siguientes sistemas de ecuaciones:
x=varphi(y),quad z=chi(y)quad(y_(0) <= y <= y_(1))x = \varphi(y), \quad z = \chi(y) \quad (y_0 \leq y \leq y_1)
o
x=varphi(z),quad y=psi(z)quad(z_(0) <= z <= z_(1)).x = \varphi(z), \quad y = \psi(z) \quad (z_0 \leq z \leq z_1).
Ejemplo 1. Hallar la integral lineal del vector a=(r)/(|r|)\mathbf{a} = \frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}, donde r\mathbf{r} es el radio vector a lo largo del segmento de la recta del punto A(r_(A))A(\mathbf{r}_A) hasta el punto B(r_(B))B(\mathbf{r}_B).
a=zi+xj+yk\mathbf{a} = z \mathbf{i} + x \mathbf{j} + y \mathbf{k}
a lo largo del arco LL de la línea helicoidal
x=R cos t,quad y=R sin t,quad z=(t)/(2pi)x = R \cos t, \quad y = R \sin t, \quad z = \frac{t}{2\pi}
del punto AA de la intersección de la línea con el plano z=0z = 0 hasta el punto BB de la intersección con el plano z=1z = 1 (fig. 30).
Solución. La integral lineal en el ejemplo dado tiene la forma
int _(L)(a,dr)=int _(L)zdx+xdy+ydz.\int_L (\mathbf{a}, d\mathbf{r}) = \int_L z \, dx + x \, dy + y \, dz.
La línea helicoidal se encuentra en el cilindro circular x^(2)+y^(2)=R^(2)x^2 + y^2 = R^2. En el punto AA tenemos t_(0)=0t_0 = 0, en el punto BB tenemos t_(1)=2pit_1 = 2\pi. Puesto que
dx=-R sin tdt,quad dy=R cos tdt,quad dz=(dt)/(2pi),dx = -R \sin t \, dt, \quad dy = R \cos t \, dt, \quad dz = \frac{dt}{2\pi},
entonces la integral será igual a
int _(L)(a,dr)=int_(0)^(2pi)(-(t)/(2pi)R sin t+R^(2)cos^(2)t+(R)/(2pi)sin t)dt=R^(2)int_(0)^(2pi)cos^(2)tdt-(R)/(2pi)int_(0)^(2pi)t sin tdt.\int_L (\mathbf{a}, d\mathbf{r}) = \int_0^{2\pi} \left( -\frac{t}{2\pi} R \sin t + R^2 \cos^2 t + \frac{R}{2\pi} \sin t \right) dt = R^2 \int_0^{2\pi} \cos^2 t \, dt - \frac{R}{2\pi} \int_0^{2\pi} t \sin t \, dt.
Sabemos que
int_(0)^(2pi)cos^(2)tdt=pi,\int_0^{2\pi} \cos^2 t \, dt = \pi,
y
int_(0)^(2pi)t sin tdt=-2pi.\int_0^{2\pi} t \sin t \, dt = -2\pi.
Por lo tanto,
int _(L)(a,dr)=R^(2)*pi-(R)/(2pi)*(-2pi)=piR^(2)+R.\int_L (\mathbf{a}, d\mathbf{r}) = R^2 \cdot \pi - \frac{R}{2\pi} \cdot (-2\pi) = \pi R^2 + R.
Ejemplo 3. Hallar la integral lineal del vector (véase el ejemplo 2)
a=zi+xj+yk\mathbf{a} = z \mathbf{i} + x \mathbf{j} + y \mathbf{k}
a lo largo de la recta ABAB (véase la fig. 30) en dirección del punto AA al punto BB.
Solución. Puesto que la recta ABAB (generatriz del cilindro x^(2)+y^(2)=R^(2)x^2 + y^2 = R^2) se encuentra en el plano xOzxOz y pasa a través del punto A(R,0,0)A (R, 0, 0), entonces y=0y = 0, x=Rx = R, dx=0dx = 0 y para el radio vector r\mathbf{r} de los puntos de la recta ABAB tendremos r=Ri+zk\mathbf{r} = R \mathbf{i} + z \mathbf{k}, dr=k*dzd\mathbf{r} = \mathbf{k} \cdot dz. Por eso el producto escalar
(a,dr)=zdx+xdy+ydz(\mathbf{a}, d\mathbf{r}) = z \, dx + x \, dy + y \, dz
en la recta ABAB será igual a cero. Por consiguiente, la integral lineal incógnita
int _(L)(a,dr)=int_(AB)(a,dr)\int_L (\mathbf{a}, d\mathbf{r}) = \int_{AB} (\mathbf{a}, d\mathbf{r})
en la recta ABAB será también igual a cero.
De los ejemplos 2 y 3 se desprende que en el caso general la integral lineal en el campo vectorial depende no sólo del punto inicial y del punto final de la vía de integración, sino también de la forma de esta vía.
Ejemplo 4. Calcular el trabajo del campo de fuerzas
F=yi+zj+(x+y+z)k\mathbf{F} = y \mathbf{i} + z \mathbf{j} + (x + y + z) \mathbf{k}
a lo largo del tramo ABAB de la recta que pasa por los puntos M_(1)(2,3,4)M_1(2, 3, 4) y M_(2)(3,4,5)M_2(3, 4, 5).
Solución. El trabajo del campo de fuerzas dado será igual a la integral lineal a lo largo del tramo M_(1)M_(2)M_1M_2:
A=int_(M_(1)M_(2))(F,dr)=int_(M_(1)M_(2))ydx+zdy+(x+y+z)dz.A = \int_{M_1M_2} (\mathbf{F}, d\mathbf{r}) = \int_{M_1M_2} y \, dx + z \, dy + (x + y + z) \, dz.
Hallamos las ecuaciones canónicas de la recta M_(1)M_(2)M_1M_2. Tenemos
y=x+1,quad z=x+2,quad dy=dx,quad dz=dx.y = x + 1, \quad z = x + 2, \quad dy = dx, \quad dz = dx.
Aquí xx varía en los límites desde 2 hasta 3 (puesto que la abscisa del punto M_(1)M_1 es igual a 2, y la abscisa del punto M_(2)M_2 es igual a 3). El trabajo buscado será igual a
Definición 2. La integral lineal tomada a lo largo de la curva cerrada orientada LL se llama la circulaciónCC del campo vectorial a=a(M)\mathbf{a} = \mathbf{a}(M). De tal modo, según la definición
donde el símbolo oint_(L)\oint_L significa la integral por la curva cerrada LL.
Si el campo vectorial a=a(M)\mathbf{a} = \mathbf{a}(M) se prefija en la forma de coordenadas
a=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k,\mathbf{a} = P(x, y, z) \mathbf{i} + Q(x, y, z) \mathbf{j} + R(x, y, z) \mathbf{k},
entonces la circulación del campo vectorial será igual a
C=oint_(L)Pdx+Qdy+Rdz.C = \oint_L P \, dx + Q \, dy + R \, dz.
Ejemplo 5. Calcular la circulación del campo vectorial a=-y^(3)i+x^(3)j\mathbf{a} = -y^3 \mathbf{i} + x^3 \mathbf{j} a lo largo de la elipse L:(x^(2))/(a^(2))+(y^(2))/(b^(2))=1L: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, en dirección contraria a las agujas de un reloj.
Solución. Según la definición de la circulación tenemos
Las ecuaciones paramétricas de la elipse dada tienen la forma
{:(4)x=a cos t","quad y=b sin t","quad0 <= t < 2pi.:}x = a \cos t, \quad y = b \sin t, \quad 0 \leq t < 2\pi. \tag{4}
De aquí
{:(5)dx=-a sin tdt","quad dy=b cos tdt.:}dx = -a \sin t \, dt, \quad dy = b \cos t \, dt. \tag{5}
Sustituyendo (4) y (5) en (3), obtendremos
C=abint_(0)^(2pi)(b^(2)sin^(4)t+a^(2)cos^(4)t)dt=(3)/(4)pi ab(a^(2)+b^(2)),C = ab \int_0^{2\pi} (b^2 \sin^4 t + a^2 \cos^4 t) \, dt = \frac{3}{4} \pi ab (a^2 + b^2),
puesto que
int_(0)^(2pi)sin^(4)tdt=(3)/(4)pi,quadint_(0)^(2pi)cos^(4)tdt=(3)/(4)pi.\int_0^{2\pi} \sin^4 t \, dt = \frac{3}{4} \pi, \quad \int_0^{2\pi} \cos^4 t \, dt = \frac{3}{4} \pi.
Ejemplo 6. Calcular la circulación del campo vectorial
a=ye^(xy)i+xe^(xy)j+xyzk\mathbf{a} = y e^{xy} \mathbf{i} + x e^{xy} \mathbf{j} + xyz \mathbf{k}
a lo largo de la línea LL la que obtenemos por la intersección del cono x^(2)+y^(2)=(z-1)^(2)x^2 + y^2 = (z - 1)^2 con los planos de coordenadas (fig. 31) en la dirección indicada en la figura.
Solución. La línea LL está compuesta de los dos segmentos BCBC y CACA situados en los planos de coordenadas yOzyOz y xOzxOz respectivamente y del arco ABAB de la circunferencia
La circulación buscada del campo vectorial es igual a cero.
Ejemplo 7. Calcular la circulación del campo vectorial
a=xyi+yzj+xzk,\mathbf{a} = xy \mathbf{i} + yz \mathbf{j} + xz \mathbf{k},
si
L:{[x^(2)+y^(2)=1","],[x+y+z=1","]:}L:
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 1, \\
x + y + z = 1,
\end{cases}
en la dirección correspondiente al recorrido de la proyección LL en el plano xOyxOy en sentido antihorario.
Solución. Tenemos
C=oint_(L)(a,dr)=int _(L)xydx+yzdy+xzdz.C = \oint_L (\mathbf{a}, d\mathbf{r}) = \int_L xy \, dx + yz \, dy + xz \, dz.
La línea LL es la elipse que se obtiene como resultado de la sección del cilindro x^(2)+y^(2)=1x^2 + y^2 = 1 con el plano x+y+z=1x + y + z = 1. Hallamos las ecuaciones paramétricas de esta línea. La proyección de cualquier punto de esta línea en el plano xOyxOy se encuentra en la circunferencia x^(2)+y^(2)=1x^2 + y^2 = 1. De aquí obtenemos x=cos tx = \cos t, y=sin ty = \sin t. Pero la elipse se encuentra en el plano x+y+z=1x + y + z = 1, de donde z=1-x-yz = 1 - x - y o z=1-cos t-sin tz = 1 - \cos t - \sin t. Por consiguiente, las ecuaciones paramétricas de la línea LL son:
{[x=cos t","],[y=sin t","],[z=1-cos t-sin t","]:}quad0 <= t < 2pi.\begin{cases}
x = \cos t, \\
y = \sin t, \\
z = 1 - \cos t - \sin t,
\end{cases}
\quad 0 \leq t < 2\pi.
De aquí hallamos
dx=-sin tdt,quad dy=cos tdt,quad dz=(sin t-cos t)dt,dx = -\sin t \, dt, \quad dy = \cos t \, dt, \quad dz = (\sin t - \cos t) \, dt,
lo que significa que la circulación será igual a
C=int_(0)^(2pi)[-cos t*sin^(2)t+sin t(1-cos t-sin t)cos t+cos t(1-cos t-sin t)(sin t-cos t)]dt.C = \int_0^{2\pi} \left[ -\cos t \cdot \sin^2 t + \sin t (1 - \cos t - \sin t) \cos t + \cos t (1 - \cos t - \sin t) (\sin t - \cos t) \right] dt.
Simplificando la expresión dentro de la integral:
C=int_(0)^(2pi)(-cos tsin^(2)t+sin t cos t-sin^(2)t cos t-sin tcos^(2)t+cos t sin t-cos^(2)t)dt.C = \int_0^{2\pi} \left( -\cos t \sin^2 t + \sin t \cos t - \sin^2 t \cos t - \sin t \cos^2 t + \cos t \sin t - \cos^2 t \right) dt.
Agrupando términos:
C=int_(0)^(2pi)(-cos tsin^(2)t-sin^(2)t cos t-sin tcos^(2)t-cos^(2)t)dt=-int_(0)^(2pi)cos^(2)tdt=-pi.C = \int_0^{2\pi} \left( -\cos t \sin^2 t - \sin^2 t \cos t - \sin t \cos^2 t - \cos^2 t \right) dt = -\int_0^{2\pi} \cos^2 t \, dt = -\pi.
§ 15. ROTOR (ROTACIONAL) DEL CAMPO VECTORIAL
Sea que tenemos el campo del vector
a(M)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k.\mathbf{a}(M) = P(x, y, z) \mathbf{i} + Q(x, y, z) \mathbf{j} + R(x, y, z) \mathbf{k}.
Supongamos que las coordenadas P,Q,RP, Q, R del vector a(M)\mathbf{a}(M) son continuas y tienen las derivadas parciales continuas del primer orden por todos sus argumentos.
Definición 1. Rotor del vector a(M)\mathbf{a}(M) es el vector que se designa con el símbolo "rot"a(M)\text{rot} \, \mathbf{a}(M) y se define por la igualdad
Este determinante se desarrolla por lo común respecto de los elementos de la línea primera, con esto las operaciones de multiplicación de los elementos de la segunda línea por los elementos de la tercera línea se entienden como las operaciones de la diferenciación, verbigracia
Definición 2. Si en algún dominio GG tenemos "rot"a=0\text{rot} \, \mathbf{a} = 0, entonces el campo del vector a\mathbf{a} en el dominio GG se llama irrotacional.
"rot"a=|[i,j,k],[(del)/(del x),(del)/(del y),(del)/(del z)],[x+z,y+z,x^(2)+z]|.\text{rot} \, \mathbf{a} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
x + z & y + z & x^2 + z
\end{vmatrix}.
Desarrollando el determinante por los elementos de la primera línea y sobreentiendo con esto la operación de multiplicación, por ejemplo (del)/(del y)\frac{\partial}{\partial y} por x^(2)+zx^2 + z como la operación de la diferenciación particular, hallamos
De tal modo, "rot"H=0\text{rot} \, \mathbf{H} = 0 en todas partes menos el eje OzOz, en los puntos del cual las últimas fórmulas pierden el sentido (el denominador se anula), es decir, el campo del vector H\mathbf{H} es irrotacional en todas partes fuera de los puntos del eje OzOz.
o sea que significa que el campo del vector "rot"a(M)\text{rot} \, \mathbf{a}(M) es el campo solenoidal.
183. Mostrar que
a) "rot"(a+-b)="rot"a+-"rot"b\text{rot} \, (\mathbf{a} \pm \mathbf{b}) = \text{rot} \, \mathbf{a} \pm \text{rot} \, \mathbf{b},
b) "rot"(lambdaa)=lambda"rot"a\text{rot} \, (\lambda \mathbf{a}) = \lambda \, \text{rot} \, \mathbf{a} (lambdaeslaconstantenumérica)(\lambda \, es \, la \, constante \, numérica)é.
184. Mostrar que si u=u(M)u = u(M) es la función escalar, a=a(M)\mathbf{a} = \mathbf{a}(M) es el vector, entonces
"rot"(ua)=u"rot"a+["grad"u,a].\text{rot} \, (u \mathbf{a}) = u \, \text{rot} \, \mathbf{a} + [\text{grad} \, u, \mathbf{a}].
Mostrar que si a\mathbf{a} y b\mathbf{b} son los vectores constantes, r\mathbf{r} es el radio vector del punto M(x,y,z)M(x, y, z), entonces
donde a\mathbf{a} es el vector constante, r=|r|=sqrt(x^(2)+y^(2)+z^(2))r = |\mathbf{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.
187. Mostrar que "rot"(f(r)a)=(f^(')(r))/(r)[r,a]\text{rot} \, (f(r) \mathbf{a}) = \frac{f'(r)}{r} [\mathbf{r}, \mathbf{a}], donde f(r)f(r) es la función arbitraria que diferenciamos de su argumento, a\mathbf{a} es el vector constante.
188. Mostrar que el campo vectorial a=f(r)r\mathbf{a} = f(r) \mathbf{r} es irrotacional, es decir, "rot"a-=0\text{rot} \, \mathbf{a} \equiv 0.
§ 16. TEOREMA DE STOKES
Dado que las coordenadas del vector
a(M)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k\mathbf{a}(M) = P(x, y, z) \mathbf{i} + Q(x, y, z) \mathbf{j} + R(x, y, z) \mathbf{k}
son continuas y tienen las derivadas parciales continuas.
Teorema. La circulación de un vector a\mathbf{a} a lo largo de un contorno cerrado LL es igual al flujo del rotor de este vector a través de la superficie cualquiera Sigma\Sigma tendida en este contorno LL:
Se supone que la orientación de la normal n^(0)\mathbf{n}^0 a la superficie Sigma\Sigma coincide con la orientación del contorno LL de tal modo que de un extremo de la normal el recorrido del contorno en la dirección elegida sea visto realizando el movimiento en sentido antihorario.
Ejemplo 1. Calcular la circulación del vector a=yi+x^(2)j-zk\mathbf{a} = y \mathbf{i} + x^2 \mathbf{j} - z \mathbf{k} por el contorno LL:
Solución. 1) El contorno LL es la circunferencia del radio R=2R = 2, que se encuentra en el plano z=3z = 3 (véase la fig. 32). Escogemos la orientación en ella de tal modo como está indicado en la figura. Las ecuaciones paramétricas de la línea LL son:
{[x=2cos t","],[y=2sin t","],[z=3","]:}quad0 <= t < 2pi,\begin{cases}
x = 2 \cos t, \\
y = 2 \sin t, \\
z = 3,
\end{cases}
\quad 0 \leq t < 2\pi,
así pues,
dx=-2sin tdt,quad dy=2cos tdt,quad dz=0.dx = -2 \sin t \, dt, \quad dy = 2 \cos t \, dt, \quad dz = 0.
Para la circulación del vector a\mathbf{a} tenemos
C=int_(0)^(2pi)[2sin t(-2sin t)+4cos^(2)t*2cos t-3*0]dt=-4pi.C = \int_0^{2\pi} \left[ 2 \sin t (-2 \sin t) + 4 \cos^2 t \cdot 2 \cos t - 3 \cdot 0 \right] dt = -4\pi.
Para calcular la circulación según el teorema de Stokes escogemos cierta superficie Sigma\Sigma, que está tendida sobre el contorno LL. Es natural en la calidad de Sigma\Sigma tomar el círculo cuyo límite es la línea LL. De acuerdo con la orientación elegida del contorno es necesario tomar la normal n^(0)\mathbf{n}^0 al círculo igual a k\mathbf{k}: n^(0)=k\mathbf{n}^0 = \mathbf{k}. Más adelante
194. Mostrar que el flujo del rotor a través de la superficie no cerrada que está tendida sobre el contorno dado no depende de la forma de superficie.
Hallar la circulación de los vectores directamente por los contornos señalados, en dirección correspondiente al recorrido, en sentido antihorario, de la proyección LL en el plano xOyxOy y por el teorema de Stokes.
a=xi+xj+yk;quad L:{[x^(2)+y^(2)=4","],[z=0.]:}\mathbf{a} = x \mathbf{i} + x \mathbf{j} + y \mathbf{k}; \quad L:
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 4, \\
z = 0.
\end{cases}
a=yi-xj+zk;quad L:{[x^(2)+y^(2)+z^(2)=4","],[x^(2)+y^(2)=z^(2)","quad z >= 0.]:}\mathbf{a} = y \mathbf{i} - x \mathbf{j} + z \mathbf{k}; \quad L:
\begin{cases}
x^2 + y^2 + z^2 = 4, \\
x^2 + y^2 = z^2, \quad z \geq 0.
\end{cases}
a=2xzi-yj+zk\mathbf{a} = 2x z \mathbf{i} - y \mathbf{j} + z \mathbf{k} por el contorno formado mediante la intersección del plano x+y+2z=2x + y + 2z = 2 con los planos de coordenadas.
a=yi-xj+(x+y)k;quad L:{[z=x^(2)+y^(2)","],[z=1.]:}\mathbf{a} = y \mathbf{i} - x \mathbf{j} + (x + y) \mathbf{k}; \quad L:
\begin{cases}
z = x^2 + y^2, \\
z = 1.
\end{cases}
a=z^(2)i;quad L:{[x^(2)+y^(2)+z^(2)=16","],[x=0","quad y=0","quad z=0.]:}\mathbf{a} = z^2 \mathbf{i}; \quad L:
\begin{cases}
x^2 + y^2 + z^2 = 16, \\
x = 0, \quad y = 0, \quad z = 0.
\end{cases}
Hallar la circulación de los siguientes campos vectoriales a lo largo de los contornos, la orientación de los cuales coincide con las normales indicadas.
a=xy^(2)i+xz^(2)j+x^(2)yk;quad L:{[x=y^(2)+z^(2)","],[x=9.]:}quad(n^(0)=i)\mathbf{a} = x y^2 \mathbf{i} + x z^2 \mathbf{j} + x^2 y \mathbf{k}; \quad L:
\begin{cases}
x = y^2 + z^2, \\
x = 9.
\end{cases}
\quad (\mathbf{n}^0 = \mathbf{i})
a=yi-xj+zk;quad L:{[x^(2)+y^(2)+z^(2)=1","],[x=z.]:}quad(n^(0)=(-i+k)/(sqrt2))\mathbf{a} = y \mathbf{i} - x \mathbf{j} + z \mathbf{k}; \quad L:
\begin{cases}
x^2 + y^2 + z^2 = 1, \\
x = z.
\end{cases}
\quad (\mathbf{n}^0 = \frac{-\mathbf{i} + \mathbf{k}}{\sqrt{2}})
Dado el campo vectorial de velocidades v\mathbf{v} de los puntos de un cuerpo sólido que gira con la velocidad angular constante omega\omega alrededor del eje OzOz. Calcular la circulación de este campo por la circunferencia
L:{[x=a cos t","],[y=a sin t","quad0 <= t < 2pi","],[z=0.]:}L:
\begin{cases}
x = a \cos t, \\
y = a \sin t, \quad 0 \leq t < 2\pi, \\
z = 0.
\end{cases}